Question

10．在正方形ABCD中，動點E，F(xiàn)分別從D，C兩點同時出發(fā)，以相同的速度在直線DC，CB上移動．
（1）如圖1，當(dāng)點E在邊DC上自D向C移動，同時點F在邊CB上自C向B移動時，連接AE和DF交于點P，請你寫出AE與DF的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說明理由；
（2）如圖2，當(dāng)E，F(xiàn)分別在邊CD，BC的延長線上移動時，連接AE，DF，（1）中的結(jié)論還成立嗎？（請你直接回答“是”或“否”，不需證明）；連接AC，請你直接寫出△ACE為等腰三角形時CE：CD的值；
（3）如圖3，當(dāng)E，F(xiàn)分別在直線DC，CB上移動時，連接AE和DF交于點P，由于點E，F(xiàn)的移動，使得點P也隨之運動，請你畫出點P運動路徑的草圖．若AD=2，試求出線段CP的最大值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)正方形的性質(zhì)得出AD=DC，∠ADE=∠DCF=90°，求出DE=CF，根據(jù)SAS推出△ADE≌△DCF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出AE=DF，∠DAE=∠FDC即可；
（2）有兩種情況：①當(dāng)AC=CE時，設(shè)正方形ABCD的邊長為a，由勾股定理求出AC=CE=$\sqrt{2}$a即可；②當(dāng)AE=AC時，設(shè)正方形ABCD的邊長為a，由勾股定理求出AC=AE=$\sqrt{2}$a，根據(jù)正方形的性質(zhì)∠ADC=90°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出DE=CD=a即可；
（3）根據(jù)（1）（2）知：點P在運動中保持∠APD=90°，得出點P的路徑是以AD為直徑的圓，設(shè)AD的中點為Q，連接CQ并延長交圓弧于點P，此時CP的長度最大，求出QC即可．

解答 解：（1）AE=DF，AE⊥DF，
理由是：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD=DC，∠ADE=∠DCF=90°，
∵動點E，F(xiàn)分別從D，C兩點同時出發(fā)，以相同的速度在直線DC，CB上移動，
∴DE=CF，
在△ADE和△DCF中
$\left\{\begin{array}{l}{AD=DC}\\{∠ADE=∠DCF}\\{DE=CF}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△DCF，
∴AE=DF，∠DAE=∠FDC，
∵∠ADE=90°，
∴∠ADP+○CDF=90°，
∴∠ADP+∠DAE=90°，
∴∠APD=180°-90°=90°，
∴AE⊥DF；

（2）
（1）中的結(jié)論還成立，CE：CD=$\sqrt{2}$或2，
理由是：有兩種情況：
①如圖1，當(dāng)AC=CE時，
設(shè)正方形ABCD的邊長為a，由勾股定理得：AC=CE=$\sqrt{{a}^{2}+{a}^{2}}$=$\sqrt{2}$a，
則CE：CD=$\sqrt{2}$a：a=$\sqrt{2}$；
②如圖2，當(dāng)AE=AC時，
設(shè)正方形ABCD的邊長為a，由勾股定理得：AC=AE=$\sqrt{{a}^{2}+{a}^{2}}$=$\sqrt{2}$a，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ADC=90°，即AD⊥CE，
∴DE=CD=a，
∴CE：CD=2a：a=2；
即CE：CD=$\sqrt{2}$或2；


（3）∵點P在運動中保持∠APD=90°，
∴點P的路徑是以AD為直徑的圓，
如圖3，設(shè)AD的中點為Q，連接CQ并延長交圓弧于點P，此時CP的長度最大，
∵在Rt△QDC中，QC=$\sqrt{C{D}^{2}+Q{D}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴CP=QC+QP=$\sqrt{5}$+1，
即線段CP的最大值是$\sqrt{5}$+1．

點評 本題考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，圓周角定理，全等三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，能綜合運用性質(zhì)進行推理是解此題的關(guān)鍵，用了分類討論思想，難度偏大．