Question

1．如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，過A、C兩點作⊙O，交邊AB于D，PC、PD為⊙O的切線．
（1）求證：∠CPD=2∠B；
（2）若PD⊥BC于E，cos∠P=$\frac{1}{3}$且DE=2時，求⊙O的半徑R的值．

Answer 1

分析 （1）連接OC，OD，OP，CD，根據(jù)切線的性質(zhì)得出PC=PD，∠OCP=∠ODP=90°，然后證得△OCP≌△ODP得出∠POC=∠POD=$\frac{1}{2}$∠COD，從而求得∠A=∠POD，進而即可證得結論；
（2）根據(jù)切線的性質(zhì)得出PC=PD，∠OCP=∠ODP=90°OP⊥CD，進而得出∠PDO=∠PFD=90°，根據(jù)cos∠P=$\frac{PE}{PC}$=$\frac{1}{3}$得出cos∠P=$\frac{PE}{PD}$=$\frac{1}{3}$，求得PC=PD=3，PE=1，然后根據(jù)勾股定理得出CE=$\sqrt{P{C}^{2}-P{E}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，CD=$\sqrt{C{E}^{2}+D{E}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，PF=$\sqrt{P{D}^{2}-D{F}^{2}}$=$\sqrt{6}$，通過證得△OPD∽△DPF，得出$\frac{OD}{PD}$=$\frac{DF}{PF}$，即$\frac{OD}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}}$，
即可求得OD=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．

解答 解：（1）連接OC，OD，OP，CD，
∵PC、PD為⊙O的切線，
∴PC=PD，∠OCP=∠ODP=90°，
在△OCP和△ODP中
$\left\{\begin{array}{l}{OC=OD}\\{PC=PD}\\{OP=OP}\end{array}\right.$
∴△OCP≌△ODP（SSS），
∴∠POC=∠POD=$\frac{1}{2}$∠COD，$∠OPC=∠OPD=\frac{1}{2}∠CPD$，
∵$∠A=\frac{1}{2}$∠COD，
∴∠A=∠POD，
∵∠ACB=∠ODP=90°，
∴∠OPD=∠B，
∴∠CPD=2∠B；
（2）∵PC、PD為⊙O的切線，
∴OP⊥CD，OD⊥PD，
∴∠PDO=∠PFD=90°，
∵PD⊥BC，
∴cos∠P=$\frac{PE}{PC}$
∵PC=PD，
∴cos∠P=$\frac{PE}{PD}$=$\frac{1}{3}$
∵DE=2，
∴PD=3，
∴PC=3，
∴CE=$\sqrt{P{C}^{2}-P{E}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∴CD=$\sqrt{C{E}^{2}+D{E}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∴DF=$\frac{1}{2}$CD=$\sqrt{3}$，
∴PF=$\sqrt{P{D}^{2}-D{F}^{2}}$=$\sqrt{6}$，
∵∠PDO=∠PFD=90°，∠OPD=∠DPF，
∴△OPD∽△DPF，
∴$\frac{OD}{PD}$=$\frac{DF}{PF}$，即$\frac{OD}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}}$，
∴OD=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．

點評 本題考查了切線的性質(zhì)，三角形相似的判斷和性質(zhì)，勾股定理的應用，直角三角函數(shù)等，作出輔助線根據(jù)直角三角形是解題的關鍵．