Question

8．如圖，已知，∠BAC=90°，AB=AC，BD是∠ABC的平分線，且CE⊥BD交BD延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．
（1）若AD=1，求DC；
（2）求證：BD=2CE．

Answer 1

分析 （1過點(diǎn)D作DH⊥BC于H，根據(jù)已知條件，∠BAC=90°，AB=AC，BD是∠ABC的平分線，得到DH=AD，在等腰直角三角形CDH中，求得CD；
（2）延長(zhǎng)CE、BA相交于點(diǎn)F．可以證明Rt△ABD≌Rt△ACF，再證明△BCE≌△BFE得到CE=EF，就可以得出結(jié)論．

解答 解：（1）如圖1，過點(diǎn)D作DH⊥BC于H，
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠BCA=45°，
∴DH=CH，
∵BD是∠ABC的平分線，
∴DH=AD=1，
∴CD=$\sqrt{2}$；
（2）如圖2，延長(zhǎng)CE、BA相交于點(diǎn)F，
∵∠EBF+∠F=90°，∠ACF+∠F=90°，
∴∠EBF=∠ACF，
在△ABD和△ACF中$\left\{\begin{array}{l}{∠EBF=∠ACF}\\{AB=AC}\\{∠BAC=∠CAF}\end{array}\right.$
∴△ABD≌△ACF（ASA），
∴BD=CF，
在△BCE和△BFE中$\left\{\begin{array}{l}{∠EBF=∠CBF}\\{BE=BE}\\{∠CEB=∠FEB}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△BFE（ASA），
∴CE=EF，
∴BD=2CE．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了角平分線性質(zhì)，全等三角形判定和性質(zhì)，能夠想到延長(zhǎng)CE、BA相交于點(diǎn)F，構(gòu)造全等三角形是解決本題的關(guān)鍵．