Question

20．如圖，AB∥CD，點(diǎn)E、F分別在AB、CD上，連接EF，∠AEF、∠CFE的平分線交于點(diǎn)G，∠BEF、∠DFE的平分線交于點(diǎn)H．
（1）求證：四邊形EGFH是矩形．
（2）小明在完成（1）的證明后繼續(xù)進(jìn)行了探索，過點(diǎn)G作MN∥EF，分別交AB、CD于點(diǎn)M、N，過點(diǎn)H作PQ∥EF，分別交AB、CD于點(diǎn)P、Q，得到四邊形MNQP．此時，他猜想四邊形MNQP是菱形．請?jiān)谙铝锌驁D中補(bǔ)全他的證明思路．
小明的證明思路：由AB∥CD，MN∥EF，PQ∥EF易證，四邊形MNQP是平行四邊形．要證□MNQP是菱形，只要證MN=NQ．由已知條件FG平分∠CFE，，MN∥EF，可證NG=NF，故只要證GM=FQ，即證△MGE≌△QFH，易證GE=FH，∠GME=∠FQH，故只要證∠MGE=∠QFH，易證∠MGE=∠GEF，∠QFH=∠EFH，∠GEF=∠EFH，故得∠MGE=∠QFH，即可得證．

Answer 1

分析 （1）利用角平分線的定義結(jié)合平行線的性質(zhì)得出∠FEH+∠EFH=90°，進(jìn)而得出∠GEH=90°，進(jìn)而求出四邊形EGFH是矩形；
（2）利用菱形的判定方法首先得出要證?MNQP是菱形，只要證MN=NQ，再證∠MGE=∠QFH得出即可

解答 （1）證明：∵EH平分∠BEF，
∴∠FEH=$\frac{1}{2}$∠BEF，
∵FH平分∠DFE，
∴∠EFH=$\frac{1}{2}$∠DFE，
∵AB∥CD，
∴∠BEF+∠DFE=180°，
∴∠FEH+∠EFH=$\frac{1}{2}$（∠BEF+∠DFE）=$\frac{1}{2}$×180°=90°，
∵∠FEH+∠EFH+∠EHF=180°，
∴∠EHF=180°-（∠FEH+∠EFH）=180°-90°=90°，
同理可得：∠EGF=90°，
∵EG平分∠AEF，
∴∠EFG=$\frac{1}{2}$∠AEF，
∵EH平分∠BEF，
∴∠FEH=$\frac{1}{2}$∠BEF，
∵點(diǎn)A、E、B在同一條直線上，
∴∠AEB=180°，
即∠AEF+∠BEF=180°，
∴∠FEG+∠FEH=$\frac{1}{2}$（∠AEF+∠BEF）=$\frac{1}{2}$×180°=90°，
即∠GEH=90°
∴四邊形EGFH是矩形；

（2）解：答案不唯一：
由AB∥CD，MN∥EF，PQ∥EF，易證四邊形MNQP是平行四邊形，
要證?MNQP是菱形，只要證MN=NQ，由已知條件：FG平分∠CFE，MN∥EF，
故只要證GM=FQ，即證△MGE≌△QFH，易證 GE=FH、∠GME=∠FQH．
故只要證∠MGE=∠QFH，易證∠MGE=∠GEF，∠QFH=∠EFH，∠GEF=∠EFH，即可得證；
故答案為：FG平分∠CFE，GE=FH、∠GME=∠FQH，∠GEF=∠EFH．

點(diǎn)評 此題主要考查了矩形的判定以及菱形的判定和角平分線的性質(zhì)，根據(jù)題意得出證明菱形的方法是解題關(guān)鍵．