Question

15．在平面直角坐標系中，O為坐標原點，點A的坐標為（a，3），點B的坐標（b，6），
（1）若AB與坐標軸平行，求AB的長；
（2）若a，b，c滿足$\left\{\begin{array}{l}a+3b-4c=2\\ a-2b+c=-3\end{array}\right.$，AC⊥x軸，垂足為C，BD⊥x軸，垂足為D，
①求四邊形ACDB的面積
②連AB，OA，OB，若△OAB的面積大于6而小于10，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）AB與坐標軸平行，則AB的長為兩點的縱坐標之差；
（2）①先解方程組得到b-a=2，則根據(jù)梯形的面積公式可計算出四邊形ACDB的面積=9；
②分類討論：當a＞0，S_△OAB=S_△OBD-S_△OAC-S_梯形ACDB=$\frac{3}{2}$a-3，則6＜$\frac{3}{2}$a-3＜10，解得6＜a＜$\frac{26}{3}$；當a＜0，b＞0，S_△OAB=S_梯形ACDB-S_△OBD-S_△OAC=3-$\frac{3}{2}$a，則6＜3-$\frac{3}{2}$a＜10，解得-$\frac{14}{3}$＜a＜-2，而b=2+a＞0，則a＞-2，故舍去；當a＜0，b＜0，S_△OAB=S_△OBD+S_梯形ACDB-S_△OAC=3-$\frac{3}{2}$a，則6＜3-$\frac{3}{2}$a＜10，解得-$\frac{14}{3}$＜a＜-2，于是得到a的取值范圍為6＜a＜$\frac{26}{3}$或-$\frac{14}{3}$＜a＜-2．

解答 解：（1）∵AB與坐標軸平行，即AB平行于y軸，
∴AB=6-3=3；
（2）①由方程組$\left\{\begin{array}{l}a+3b-4c=2\\ a-2b+c=-3\end{array}\right.$得b-a=2，
∵AC⊥x軸，垂足為C，BD⊥x軸，垂足為D，
∴C（a，0），D（b，0），如圖，
∴四邊形ACDB的面積=$\frac{1}{2}$•（3+6）•（b-a）=$\frac{1}{2}$•9•2=9；
②當a＞0，
∵S_△OAB=S_△OBD-S_△OAC-S_梯形ACDB，
∴S_△OAB=$\frac{1}{2}$•6•b-$\frac{1}{2}$•3•a-9=3b-$\frac{3}{2}$a-9，
而b=2+a，
∴S_△OAB=3（2+a）-$\frac{3}{2}$a-9=S_△OAB=$\frac{3}{2}$a-3，
∴6＜$\frac{3}{2}$a-3＜10，解得6＜a＜$\frac{26}{3}$；
當a＜0，b＞0，
S_△OAB=S_梯形ACDB-S_△OBD-S_△OAC=9-$\frac{1}{2}$•6•b+$\frac{1}{2}$•3•a=9-3b+$\frac{3}{2}$a=9-3（2+a）+$\frac{3}{2}$a=3-$\frac{3}{2}$a
∴6＜3-$\frac{3}{2}$a＜10，解得-$\frac{14}{3}$＜a＜-2，
而b=2+a＞0，則a＞-2，故舍去，
當a＜0，b＜0，
∵S_△OAB=S_△OBD+S_梯形ACDB-S_△OAC=-$\frac{1}{2}$•6•b+9+$\frac{1}{2}$•3•a=-3b+9+$\frac{3}{2}$a=-3（2+a）+9+$\frac{3}{2}$a=3-$\frac{3}{2}$a
∴6＜3-$\frac{3}{2}$a＜10，解得-$\frac{14}{3}$＜a＜-2，
綜上所述，a的取值范圍為6＜a＜$\frac{26}{3}$或-$\frac{14}{3}$＜a＜-2．

點評 本題考查了坐標與圖形性質(zhì)：利用點的坐標求相應(yīng)線段的長和判斷線段與坐標軸的位置關(guān)系．也考查了三角形面積公式．