Question

10．如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)E為BC上一點(diǎn)，連接DE，把△DEC沿DE折疊得到△DEF，延長EF交AB于G，連接DG．
（1）求∠EDG的度數(shù)．
（2）如圖2，E為BC的中點(diǎn)，連接BF．
①求證：BF∥DE；
②若正方形邊長為6，求線段AG的長．

Answer 1

分析 （1）由正方形的性質(zhì)可得DC=DA．∠A=∠B=∠C=∠ADC=90°，由折疊的性質(zhì)得出∠DFE=∠C，DC=DF，∠1=∠2，再求出∠DFG=∠A，DA=DF，然后由“HL”證明Rt△DGA≌Rt△DGF，由全等三角形對應(yīng)角相等得出∠3=∠4，得出∠2+∠3=45°即可；
（2）①由折疊的性質(zhì)和線段中點(diǎn)的定義可得CE=EF=BE，∠DEF=∠DEC，再由三角形的外角性質(zhì)得出∠5=∠DEC，然后利用同位角相等，兩直線平行證明即可；
②設(shè)AG=x，表示出GF、BG，根據(jù)點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)求出BE、EF，從而得到GE的長度，再利用勾股定理列出方程求解即可；

解答 （1）解：如圖1所示：
∵四邊形ABCD是正方形，
∴DC=DA．∠A=∠B=∠C=∠ADC=90°，
∵△DEC沿DE折疊得到△DEF，
∴∠DFE=∠C，DC=DF，∠1=∠2，
∴∠DFG=∠A=90°，DA=DF，
在Rt△DGA和Rt△DGF中，
$\left\{\begin{array}{l}{DG=DG}\\{DA=DF}\end{array}\right.$，
∴Rt△DGA≌Rt△DGF（HL），
∴∠3=∠4，
∴∠EDG=∠3+∠2=$\frac{1}{2}$∠ADF+$\frac{1}{2}$∠FDC，
=$\frac{1}{2}$（∠ADF+∠FDC），
=$\frac{1}{2}$×90°，
=45°；
（2）①證明：如圖2所示：
∵△DEC沿DE折疊得到△DEF，E為BC的中點(diǎn)，
∴CE=EF=BE，∠DEF=∠DEC，
∴∠5=∠6，
∵∠FEC=∠5+∠6，
∴∠DEF+∠DEC=∠5+∠6，
∴2∠5=2∠DEC，
即∠5=∠DEC，
∴BF∥DE；
②解：設(shè)AG=x，則GF=x，BG=6-x，
∵正方形邊長為6，E為BC的中點(diǎn)，
∴CE=EF=BE=$\frac{1}{2}$×6=3，
∴GE=EF+GF=3+x，
在Rt△GBE中，根據(jù)勾股定理得：（6-x）²+3²=（3+x）²，
解得：x=2，
即線段AG的長為2．

點(diǎn)評 本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、翻折變換的性質(zhì)；熟練掌握正方形的性質(zhì)，并能進(jìn)行推理論證與計(jì)算是解決問題的關(guān)鍵．