Question

在正方形ABCD中，∠EDF=45°，求證：EF=AE+CF．

Answer 1

考點：旋轉的性質,全等三角形的判定與性質,正方形的性質

專題：證明題

分析：根據正方形的性質得DA=DC，∠A=∠ADC=90°，則可把Rt△DAE繞點D逆時針旋轉90°得到Rt△DCG，如圖，根據旋轉的性質AE=CG，DE=DG，∠EDG=90°，∠DCG=∠A=90°，則可判斷點G在BC的延長線上，所以FG=FC+CG，然后證明△DFE≌△DFG，得到EF=FG，易得EF=FC+AE．

解答：證明：∵四邊形ABCD為正方形，
∴DA=DC，∠A=∠ADC=90°，
把Rt△DAE繞點D逆時針旋轉90°得到Rt△DCG，如圖，
∴AE=CG，DE=DG，∠EDG=90°，∠DCG=∠A=90°，
而∠DCF=90°，
∴點G在BC的延長線上，
∴FG=FC+CG，
∵∠EDF=45°，
∴∠FDG=∠EDG-∠EDF=45°，
在△DFE和△DFG中，

DF=DF ∠EDF=∠GDF DE=DG

，
∴△DFE≌△DFG（SAS），
∴EF=FG，
∴EF=FC+CG=FC+AE．

點評：本題考查了旋轉的性質：對應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角；旋轉前、后的圖形全等．也考查了全等三角形的判定與性質和正方形的性質．