Question

6．如圖，在直角坐標平面內(nèi)，點A的坐標為（0，4），點B是x軸上一點，以AB為邊，在AB的一側(cè)作正方形ABCD，對角線AC、BD相交于點E，過點C向x軸做垂線，垂足為F，點G是OF的中點，連接EG．
（1）如果點B的坐標為（1，0），求點C的坐標；
（2）當(dāng)點B在x軸正半軸上時，如果點B的坐標為（a，0），△BEG的面積為S，寫出S關(guān)于a的函數(shù)解析式及定義域．
（3）當(dāng)△BEG的面積為$\frac{3}{2}$時，求線段EG的長．

Answer 1

分析 （1）先判斷出∠CBF=∠OAB，進而判斷出△AOB≌△BF，即可求出OF=OB+BF，即可；
（2）先判斷出EG是梯形AOFC的中位線，即可表示出EG，OG，分兩種情況利用三角形的面積公式即可；
（3）分點B在x軸正半軸和負半軸兩種情況：當(dāng)點B在x軸正半軸時，借助（2）的結(jié)論即可，
當(dāng)點B在x軸負半軸上，利用三角形的中位線表示出EG，同（2）的方法得出三角形的面積帶入即可．

解答 解：（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠ABO+∠CBF=90°，
∵∠AOB=90°，
∴∠ABO+∠OAB=90°，
∴∠CBF=∠OAB，
∵CF⊥OF，
∴∠BCF=∠AOB=90°，
∴△AOB≌△BFC，
∴AO=BF=4，OB=FC=1，
∴OF=OB+BF=5，
∴C（5，1），

（2）∵AO⊥OF，CF⊥OF，
∴AO∥CF，當(dāng)B，G不重合時，AO與CF不相等，四邊形AOFC是梯形，
∵四邊形ABCD的對角線相交于E，
∴AE=EC，
∵點G是OF的中點，
∴EG是梯形AOFC的中位線，
∵△AOB≌△BFC，
∴AO=BF=4，OB=FC=a，
∴OF=a+4，EG=$\frac{1}{2}$（AO+CF）=2+$\frac{a}{2}$，
∴OG=$\frac{1}{2}$OF=2+$\frac{a}{2}$，
當(dāng)0＜a＜4時，BG=OG-OB=2+$\frac{a}{2}$-a=2-$\frac{a}{2}$，
∴S=$\frac{1}{2}$BG•EG=$\frac{1}{2}$（2-$\frac{a}{2}$）（2+$\frac{a}{2}$）=2-$\frac{{a}^{2}}{8}$
當(dāng)a＞4時，BG=OB-OG=a-（2+$\frac{a}{2}$）=$\frac{a}{2}$-2，
∴S=$\frac{1}{2}$BG•EG═$\frac{1}{2}$（$\frac{a}{2}$-2）（2+$\frac{a}{2}$）=$\frac{{a}^{2}}{8}$-2；

（3）當(dāng)點B在x軸正半軸上，
當(dāng)0＜a＜4時，由（2）知，S=2-$\frac{{a}^{2}}{8}$，
∵S=$\frac{3}{2}$，
∴2-$\frac{{a}^{2}}{8}$=$\frac{3}{2}$，
∴a=-2（舍）或a=2，
∴EG=2+$\frac{a}{2}$=2+1=3，
當(dāng)a＞4時，由（2）知，S=$\frac{{a}^{2}}{8}$-2，
∵S=$\frac{3}{2}$，
∴$\frac{{a}^{2}}{8}$-2=$\frac{3}{2}$，
∴a=-2$\sqrt{7}$（舍）或a=2$\sqrt{7}$，
∴EG=2+$\frac{a}{2}$=2+$\sqrt{7}$，
當(dāng)點B在x軸負半軸時，當(dāng)-4＜a＜0時，如圖1，
連接OC，延長EG交OC于H，
∵△AOB≌△BFC，
∴AO=BF=4，OB=FC=-a，
∴OF=4+a，
∵四邊形ABCD的對角線相交于E，
∴AE=EC，
∵點G是OF的中點，
∴EH是△OAC的中位線，GH是△OCF的中位線，
∴EH=$\frac{1}{2}$OA=2，GH=$\frac{1}{2}$CF=-$\frac{a}{2}$，EG=EH-GH=2+$\frac{a}{2}$
∴OG=$\frac{1}{2}$OF=2+$\frac{a}{2}$，
BG=OG-OB=2+$\frac{a}{2}$+（-a）=2-$\frac{a}{2}$，
∴S=$\frac{1}{2}$BG•EG=$\frac{1}{2}$（2-$\frac{a}{2}$）（2+$\frac{a}{2}$）=2-$\frac{{a}^{2}}{8}$，
∵S=$\frac{3}{2}$，
∴2-$\frac{{a}^{2}}{8}$=$\frac{3}{2}$，
∴a=-2或a=2（舍），
∴EG=2+$\frac{a}{2}$=2-1=1
當(dāng)a＜-4時，如圖2，
連接OC，延長EG交OC于H，
∵△AOB≌△BFC，
∴AO=BF=4，OB=FC=-a，
∴OF=-a-4，
∵四邊形ABCD的對角線相交于E，
∴AE=EC，
∵點G是OF的中點，
∴GH是△OAC的中位線，EH是△OCF的中位線，
∴GH=$\frac{1}{2}$FC=-$\frac{a}{2}$，EH=$\frac{1}{2}$OA=2，EG=GH-EH=-$\frac{a}{2}$-2，
∴OG=$\frac{1}{2}$OF=-$\frac{a}{2}$-2，
BG=OB-OG=-a-（-$\frac{a}{2}$-2）=-$\frac{a}{2}$+2，
∴S=$\frac{1}{2}$BG•EG=$\frac{1}{2}$（-$\frac{a}{2}$+2）（-$\frac{a}{2}$-2）=$\frac{{a}^{2}}{8}$-2；
∵S=$\frac{3}{2}$，
∴$\frac{{a}^{2}}{8}$-2=$\frac{3}{2}$，
∴a=-2$\sqrt{7}$或a=2$\sqrt{7}$（舍），
∴EG=-$\frac{a}{2}$-2=$\sqrt{7}$-2．

點評 此題是四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，梯形的中位線，三角形的中位線，解（1）的關(guān)鍵是判斷出△AOB≌△BFC，解（2）的關(guān)鍵是判斷出EG是梯形AOFC的中位線，解（3）的關(guān)鍵是判斷出GH是△OAC的中位線，EH是△OCF的中位線，是一道很好的中考壓軸題．