Question

16．如圖①，OP為一墻面，它與地面OQ垂直，有一根木棒AB如圖放置，點(diǎn)C是它的中點(diǎn)，現(xiàn)在將木棒的A點(diǎn)在OP上由A點(diǎn)向下滑動(dòng)，點(diǎn)B由O點(diǎn)向OQ方向滑動(dòng)，直到AB橫放在地面為止．
（1）在AB滑動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)C經(jīng)過(guò)的路徑可以用下列哪個(gè)圖象來(lái)描述（　�。�

（2）若木棒長(zhǎng)度為2m，如圖②射線OM與地面夾角∠MOQ=60°，當(dāng)AB滑動(dòng)過(guò)程中，與OM并于點(diǎn)D，分別求出當(dāng)AD=$\frac{3}{4}$、AD=1、AD=$\frac{4}{3}$時(shí)，OD的值．
（3）如圖③，是一個(gè)城市下水道，下水道入口寬40cm，下水道水平段高度為40cm，現(xiàn)在要想把整根木棒AB通入下水道水平段進(jìn)行工作，那么這根木棒最長(zhǎng)可以是113（cm）（直接寫(xiě)出結(jié)果，結(jié)果四舍五入取整數(shù)）．

Answer 1

分析 （1）利用直角三角形斜邊中線定理即可解決問(wèn)題；
（2）分三種情形根據(jù)DH∥QO，可得$\frac{AD}{DB}$=$\frac{AH}{HO}$，求出AH，再利用勾股定理求解即可；
（3）由題意當(dāng)?shù)妊�直角三角形的直角邊�?0cm時(shí)，斜邊為$\sqrt{8{0}^{2}+8{0}^{2}}$≈113cm，由此即可解決問(wèn)題．

解答 解：（1）∵點(diǎn)C是AB的中點(diǎn)，
∴OC=$\frac{1}{2}$AB，
∴點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)軌跡是以O(shè)為圓心，$\frac{1}{2}$AB長(zhǎng)為半徑的圓弧，經(jīng)過(guò)的路程的$\frac{1}{4}$圓周．
故選甲．

（2）過(guò)D作DH⊥OP于H，設(shè)DH=a，在Rt△OHD中，
∵∠AOD=90°-60⁰=30⁰，
∴OD=2a，OH=$\sqrt{3}$a，
∵DH⊥OA，OQ⊥OA，
∴DH∥QO，
∴$\frac{AD}{DB}$=$\frac{AH}{HO}$，
當(dāng)AD=$\frac{3}{4}$時(shí)，BD=$\frac{5}{4}$，
∴$\frac{\frac{3}{4}}{\frac{5}{4}}$=$\frac{AH}{\sqrt{3}a}$，
∴AH=$\frac{3\sqrt{3}}{5}$a，
在Rt△AHD中，
∵AH²+DH²=AD²，
∴$\frac{27}{25}$a²+a²=$\frac{9}{16}$，
解得a=$\frac{15\sqrt{13}}{104}$，OD=$\frac{30\sqrt{13}}{104}$，
當(dāng)AD=1時(shí)，BD=1，
∴$\frac{1}{1}$=$\frac{AH}{\sqrt{3}a}$，
∴AH=$\sqrt{3}$a，
在Rt△AHD中，∵AH²+DH²=AD²，
∴3a²+a²=1，
解得a=$\frac{1}{2}$，OD=1，
當(dāng)AD=$\frac{4}{3}$時(shí)，BD=$\frac{2}{3}$，
∴$\frac{\frac{4}{3}}{\frac{2}{3}}$=$\frac{AH}{\sqrt{3}a}$，
∴AH=2$\sqrt{3}$a，
在Rt△AHD中，∵AH²+DH²=AD²，
∴12a²+a²=$\frac{16}{9}$，
  解得a=$\frac{4\sqrt{13}}{39}$，OD=$\frac{8\sqrt{13}}{39}$．
（3）由題意當(dāng)?shù)妊�直角三角形的直角邊�?0cm時(shí)，斜邊為$\sqrt{8{0}^{2}+8{0}^{2}}$≈113cm，
所以這根木棒最長(zhǎng)可以是113cm． 
故答案為113cm．

點(diǎn)評(píng) 本題考查相似形綜合題、平行線分線段成比例定理、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)構(gòu)建方程解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．