Question

3．如圖，等腰梯形ABCD，AB∥DC，AB=2，∠ADB=90°．
（1）試求等腰梯形ABCD的周長(zhǎng)y與腰長(zhǎng)x之間的函數(shù)關(guān)系式．
（2）當(dāng)腰長(zhǎng)等于多少時(shí)，梯形ABCD的周長(zhǎng)有最大值？最大值是多少？

Answer 1

分析 （1）取AB的中點(diǎn)O，作OE⊥AD，DF⊥AO，垂足分別為E、F，根據(jù)平行線的判定得到OE∥BD，由三角形的中位線的性質(zhì)得到AE=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$x，由三角形相似得相似比，用x表示AF的長(zhǎng)，根據(jù)CD=AB-2AF表示等腰梯形的上底，可求梯形的周長(zhǎng)；
（2）把（1）中梯形周長(zhǎng)的表達(dá)式配方，可求周長(zhǎng)的最大值．

解答 解：（1）取AB的中點(diǎn)O，過O作OE⊥AD于E，DF⊥AO于F，
∵∠ADB=90°，
∴OE∥BD，
∴AE=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$x，
易證Rt△ADF∽R(shí)t△AOE，
∴$\frac{AF}{AE}=\frac{AD}{AO}$，即$\frac{AF}{\frac{1}{2}x}$=$\frac{x}{1}$，解得AF=$\frac{1}{2}$x²，
∴CD=AB-2AF=2-x²，
∴y=2x+2+2-x²=-x²+2x+4；

（2）∵y=-x²+2x+4=-（x-1）²+5，
∴x=1時(shí)，周長(zhǎng)最大為5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等腰梯形的性質(zhì)，二次函數(shù)在求梯形周長(zhǎng)最值中的運(yùn)用．關(guān)鍵是利用三角形相似求梯形的上底．