Question

20．如圖，拋物線y=-x²+bx+c與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，點A（5，0），B（-1，0），點D在直線AC上，過點D作DE∥y軸交拋物線于點E，設點D的橫坐標為m．
（1）求拋物線和直線AC的解析式；
（2）當0＜m＜5時，用含m的代數(shù)式表示DE的長；
（3）在（2）的條件下，當m為何值時，△CDE是軸對稱圖形？

Answer 1

分析 （1）將A、B點代入拋物線解析式即可求得b、c的值，即可求得點C坐標，即可解題；
（2）延長ED交x軸于點F，易證△ADF為等腰直角三角形，根據(jù)DE=EF-DF即可解題；
（3）作DG⊥y軸，易證△CDE是等腰直角三角形，根據(jù)（2）中結論即可求得m的值，即可解題．

解答 解：（1）將A、B代入y=-x²+bx+c可得：$\left\{\begin{array}{l}{0=-1-b+c}\\{0=-25+5b+c}\end{array}\right.$，
解得：b=4，c=5，
∴拋物線解析式為y=-x²+4x+5，
∴點C坐標為（0，5），
設直線AC解析式為y=kx+b，代入A、C得：$\left\{\begin{array}{l}{b=5}\\{5k+b=0}\end{array}\right.$，
解得：k=-1，b=5，
∴直線AC的解析式為y=-x+5；
（2）延長ED交x軸于點F，

∵OA=OC，
∴∠BAC=45°，
∵ED∥y軸，
∴△ADF為等腰直角三角形，
∴DF=AF，
∴DE=EF-DF=（-m²+4m+5）-（5-m）=-m²+5m；
（3）作DG⊥y軸，

∴∠ACO=45°，
∴CD=$\sqrt{2}$DG，
∵△CDE是軸對稱圖形，∠CDE=∠ADF=45°，
∴△CDE是等腰直角三角形，
∴DE=$\sqrt{2}$CD，
∴DE=2DG，即-m²+5m=2m，
解得：m=3或m=0（舍去），
∴當m=3時，△CDE是軸對稱圖形．

點評 本題考查了代入法求二次函數(shù)解析式的方法，考查了等腰直角三角形的性質，本題中求得DE的長與m的關系是解題的關鍵．