Question

11．如圖，已知△ABC是等邊三角形，D、E分別在邊BC、AC上，AB=6，BD=2DC，且CD=CE，連結(jié)DE并延長(zhǎng)至點(diǎn)F，使EF=AE，連結(jié)AF、BE和CF．
（1）求△EDC的面積．
（2）判斷四邊形ABDF是怎樣的四邊形，并說明理由．
（3）求四邊形ABEF的面積．

Answer 1

分析 （1）首先利用等邊三角形的性質(zhì)易得AB=BC=CA=6，∠ACB=60°，△EDC為等邊三角形，過E作EG⊥DC于點(diǎn)G，易得∠GEC=30°，得GC=$\frac{1}{2}EC$=1，利用勾股定理可得EG，利用三角形的面積公式得結(jié)果；
（2）由∠AEF=∠CED=60°，EF=EA，易得△AEF為等邊三角形，利用內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行易得AF∥BD，由AF=AE=AC-CE=BC-CD=BD，利用平行四邊形的判定定理得出結(jié)論；
（3）過點(diǎn)A作AH⊥BC于H，易得∠BAH=30°，利用含30°直角三角形的性質(zhì)，易得BH=$\frac{1}{2}AB=3$，利用勾股定理可得AH，代入S_{四邊形ABEF}=S_{四邊形ABDF}-S_△BDE
=BD•AH-$\frac{1}{2}•BD•EG$，得出結(jié)論．

解答 解：（1）在等邊△ABC中，
AB=BC=CA=6，∠ACB=60°，
∵BD=2DC，CD=CE，
∴BD=4，CD=CE=2，
∴EDC為等邊三角形，
過E作EG⊥DC于點(diǎn)G，
在Rt△EGC中，
∠ECG=60°，
∴∠GEC=30°，
∴$GC=\frac{1}{2}EC=1$，
∴$EG=\sqrt{E{C}^{2}-G{C}^{2}}$=$\sqrt{3}$
∴S_△EDC=$\frac{1}{2}•DC•EG$=$\frac{1}{2}×2×\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$；

（2）四邊形ABDF是平行四邊形．
理由如下：
∵∠AEF=∠CED=60°，EF=EA，
∴△AEF為等邊三角形，
∴∠AFE=∠FDC=60°，
∴AF∥BD，
∵AF=AE=AC-CE=BC-CD=BD，
∴AF∥BD且AF=BD，
∴四邊形ABDF為平行四邊形；

（3）過點(diǎn)A作AH⊥BC于H，
在Rt△ABH中，
∠BAH=90°-∠ABH=30°，
∴BH=$\frac{1}{2}$AB=3，AH=$\sqrt{A{B}^{2}-B{H}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}-{3}^{2}}$=3$\sqrt{3}$，
∴S_{四邊形ABEF}=S_{四邊形ABDF}-S_△BDE
=BD•AH-$\frac{1}{2}•BD•EG$
=$4×3\sqrt{3}-\frac{1}{2}×4×\sqrt{3}$，
=10$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)及判定，平行四邊形的判定，含30°直角三角形的性質(zhì)，綜合運(yùn)用各種判定定理，作出適當(dāng)?shù)妮o助線是解答此題的關(guān)鍵．