Question

11．如圖，平行于x軸的直線(xiàn)AC分別交函數(shù)y₁=x²（x≥0）與y₂=$\frac{{x}^{2}}{n}$（x≥0）的圖象于B、C兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作y軸的平行線(xiàn)交y₁的圖象于點(diǎn)D，直線(xiàn)DE∥AC，交y₂的圖象于點(diǎn)E，當(dāng)n=2時(shí)，$\frac{DE}{AB}$的值為2-$\sqrt{2}$；當(dāng)n=k時(shí)，$\frac{DE}{AB}$的值為k-$\sqrt{k}$．

Answer 1

分析 設(shè)C（t，$\frac{{t}^{2}}{n}$），利用AC∥x軸得到B點(diǎn)的縱坐標(biāo)為$\frac{{t}^{2}}{n}$，再根據(jù)拋物線(xiàn)上點(diǎn)的坐標(biāo)特征得到B（$\frac{\sqrt{n}}{n}$t，$\frac{{t}^{2}}{n}$）；同樣可確定D（t，t²），E（$\sqrt{n}$t，t²），則AB=$\frac{\sqrt{n}}{n}$，DE=（$\sqrt{n}$-1）t，于是可計(jì)算出$\frac{DE}{AB}$=n-$\sqrt{n}$，然后把n=2和k代入計(jì)算即可．

解答 解：設(shè)C（t，$\frac{{t}^{2}}{n}$），
∵AC∥x軸，
∴B點(diǎn)的縱坐標(biāo)為$\frac{{t}^{2}}{n}$，
當(dāng)y=$\frac{{t}^{2}}{n}$時(shí)，$\frac{{t}^{2}}{n}$=x²，解得x=$\frac{t}{\sqrt{n}}$=$\frac{\sqrt{n}}{n}$t，
∴B（$\frac{\sqrt{n}}{n}$t，$\frac{{t}^{2}}{n}$）；
∴AB=$\frac{\sqrt{n}}{n}$t，
∵CD∥y軸，
∴點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為t，
∴D（t，t²），
∵DE∥x軸，
∴E點(diǎn)的縱坐標(biāo)為t²，
當(dāng)y=t²時(shí)，$\frac{{x}^{2}}{n}$=t²，解得x=$\sqrt{n}$t，
∴E（$\sqrt{n}$t，t²），
∴DE=（$\sqrt{n}$-1）t，
∴$\frac{DE}{AB}$=$\frac{（\sqrt{n}-1）t}{\frac{\sqrt{n}t}{n}}$=n-$\sqrt{n}$，
當(dāng)n=2時(shí)，$\frac{DE}{AB}$=2-$\sqrt{2}$；
當(dāng)n=k時(shí)，$\frac{DE}{AB}$=k-$\sqrt{k}$．
故答案為2-$\sqrt{2}$；k-$\sqrt{k}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征：二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)滿(mǎn)足其解析式．