Question

15．【原題再現(xiàn)】課本第81頁課內(nèi)練習第1題：如圖，在△ABC中，D為BC邊上一點，DB=DC，DE⊥AB于點E，DF⊥AC于點F，且DE=DF，求證：AB=AC．
【探究思考】
同學們完成這道題目后，在老師的啟發(fā)下對問題進行了反思探究，提出了如下思考：
①把題中的條件“DB=DC”和結論“AB=AC”互換得到的命題是否成立？
②題中的“D為BC上一點”改為“D為△ABC內(nèi)部一點”，是否仍能得到AB=AC？
【問題解決】
（1）請你對上述兩個問題作出判斷，直接在橫線上寫“是”或“否”；
（2）選擇其中一個問題畫出圖形，并說明理由．

Answer 1

分析 ①連接AD，由三線合一性質(zhì)證得AD平分∠BAC，由角平分線上的性質(zhì)即可得的結論；
②證得Rt△BDE≌Rt△CDF，推出∠EBD=∠FCD，DB=DC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠DBC=∠DCB，由等式的性質(zhì)∠ABC=∠ACB，由等腰三角形的判定即可得到結論．

解答 解：（1）是，
理由：如圖1，連接AD，
∵AB=AC，DB=DC，
∴AD平分∠BAC（三線合一性質(zhì)），
∵DE、DF分別垂直AB、AC于點E和F．
∴DE=DF（角平分線上的點到角兩邊的距離相等）；

（2）是，
理由：如圖2，在Rt△BDE和Rt△CDF中$\left\{\begin{array}{l}{BD=CD}\\{ED=FD}\end{array}\right.$，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF，
∴∠EBD=∠FCD，DB=DC，
∴∠DBC=∠DCB，
∴∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC，

點評 本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)和判定，角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判斷和性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)和判定是解題的關鍵．