Question

14．已知菱形ABCD的對(duì)角線相交于O，點(diǎn)E、F分別在邊AB、BC上，且BE=BF，射線EO、FO分別交邊CD、AD于G、H．
（1）求證：四邊形EFGH為矩形；
（2）若OA=4，OB=3，求EG的最小值．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)對(duì)角線互相平分證明四邊形EFGH是平行四邊形，再證明△EBO≌△FBO，得EG=FH，所以四邊形EFGH是矩形；
（2）根據(jù)垂線段最短，可知：當(dāng)OE⊥AB時(shí)，OE最小，先利用面積法求OE的長(zhǎng)，EG=2OE，可得結(jié)論．

解答 證明：（1）∵四邊形ABCD是菱形，
∴OA=OC，OB=OD，AB∥CD，AD∥BC，
∴∠BAO=∠DCO，∠AOE=∠GOC，
∴△AOE≌△COG（ASA），
∴OE=OG，
同理得：OH=OF，
∴四邊形EFGH是平行四邊形，
∵BE=BF，∠ABD=∠CBD，OB=OB，
∴△EBO≌△FBO，
∴OE=OF，
∴EG=FH，
∴四邊形EFGH是矩形；

（2）∵垂線段最短，
∴當(dāng)OE⊥AB時(shí)，OE最小，
∵OA=4，OB=3，∠AOB=90°，
∴AB²=OA²+OB²=25，
∴AB=5，
∴$\frac{1}{2}$OA×OB=$\frac{1}{2}$AB×OE，
3×4=5×OE，
OE=$\frac{12}{5}$，
∵OE=OG，
∴EG=$\frac{24}{5}$．
答：EG的最小值是$\frac{24}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了菱形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)和判定、三角形全等的性質(zhì)和判定、勾股定理，熟練掌握矩形的判定是關(guān)鍵，同時(shí)還運(yùn)用了面積法求線段OE的長(zhǎng)．