Question

8．如圖，△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，點(diǎn)P從A沿AC邊向C點(diǎn)以1cm/s的速度移動(dòng)，在C點(diǎn)停止，點(diǎn)Q從C點(diǎn)開(kāi)始沿CB邊向點(diǎn)B以2cm/s的速度移動(dòng)，在B點(diǎn)停止．
（1）如果點(diǎn)P，Q分別從A、C同時(shí)出發(fā)，經(jīng)過(guò)幾秒鐘，使S_△QPC=8cm²？
（2）如果點(diǎn)P從點(diǎn)A先出發(fā)2s，點(diǎn)Q再?gòu)狞c(diǎn)C出發(fā)，經(jīng)過(guò)幾秒鐘后S_△QPC=4cm²？
（3）如果點(diǎn)P、Q分別從A、C同時(shí)出發(fā)，經(jīng)過(guò)幾秒鐘后PQ=BQ？

Answer 1

分析 本題可設(shè)P出發(fā)xs后，S_△QPC符合已知條件：
在（1）中，AP=xm，PC=（6-x）m，QC=2xm；
在（2）中，AP=xm，PC=（6-x）m，QC=2（x-2）m，進(jìn)而可列出方程，求出答案；
在（3）中，PC=（6-x）m，QC=2xm，BQ=8-2x，利用勾股定理和PQ=BQ列出方程，求出答案．

解答 解：（1）P、Q同時(shí)出發(fā)，經(jīng)過(guò)x秒鐘，S_△QPC=8cm²，由題意得，
$\frac{1}{2}$（6-x）•2x=8，
∴x²-6x+8=0，
解得：x₁=2，x₂=4．
經(jīng)2秒點(diǎn)P到離A點(diǎn)1×2=2cm處，點(diǎn)Q離C點(diǎn)2×2=4cm處，經(jīng)4s點(diǎn)P到離A點(diǎn)1×4=4cm處，點(diǎn)Q點(diǎn)C點(diǎn)2×4=8cm處，經(jīng)驗(yàn)證，它們都符合要求．
答：P、Q同時(shí)出發(fā)，經(jīng)過(guò)2s或4s，S_△QPC=8cm²．

（2）設(shè)P出發(fā)ts時(shí)S_△QPC=4cm²，則Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為（t-2）秒，由題意得：
$\frac{1}{2}$（6-t）•2（t-2）=4，
∴t²-8t+16=0，
解得：t₁=t₂=4
因此經(jīng)4秒點(diǎn)P離A點(diǎn)1×4=4cm，點(diǎn)Q離C點(diǎn)2×（4-2）=4cm，符合題意．
答：P先出發(fā)2s，Q再?gòu)腃出發(fā)2s后，S_△QPC=4cm²．

（3）設(shè)經(jīng)過(guò)x秒鐘后PQ=BQ，則PC=（6-x）m，QC=2xm，BQ=8-2x，
（6-x）²+（2x）²=（8-2x）²，
解得x₁=-10+8$\sqrt{2}$，x₂=-10-8$\sqrt{2}$（不合題意，舍去）
答：經(jīng)過(guò)-10+8$\sqrt{2}$秒鐘后PQ=BQ．

點(diǎn)評(píng) 此題考查一元二次方程的實(shí)際運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是弄清圖形與實(shí)際問(wèn)題的關(guān)系，另外，還要注意解的合理性，從而確定取舍．