Question

14．如圖，AB為⊙O的直徑，AC交⊙O于E點(diǎn)，BC交⊙O于D點(diǎn)，CD=BD，∠C=70°，現(xiàn)給出以下四個(gè)結(jié)論：
①∠A=40°；
②AC=AB；
③$\widehat{AE}$=$\widehat{BE}$；　
④2CE•AB=BC²，
其中正確結(jié)論的序號為①②④．

Answer 1

分析 ①②正確，只要證明△ABC是等腰三角形即可；③錯(cuò)誤．假設(shè)成立，推出矛盾即可；④正確，只要證明△CED∽△CBA即可．

解答 解：連接AD、BE、ED．

∵AB是直徑，
∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，
∵DC=DB，
∴AC=AB，故②正確，
∴∠C=∠ABC=70°，
∴∠BAC=180°-∠C-∠ABC=40°，故①正確，
∵∠C=∠C，∠CED=∠ABC，
∴△CED∽△CBA，
∴$\frac{CE}{CB}$=$\frac{CD}{CA}$，
∴CE•CA=CB•CD，
∵AB=AC，CD=$\frac{1}{2}$BC，
∴CE•AB=BC•$\frac{1}{2}$BC，
∴2CE•AB=BC²，故④正確，
不妨設(shè)③成立，則，∠EAB=∠EBA=45°，與已知條件矛盾，
∴假設(shè)錯(cuò)誤，故③錯(cuò)誤，
故答案為①②④

點(diǎn)評 本題考查圓的有關(guān)知識、相似三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握這些知識的應(yīng)用，學(xué)會添加常用輔助線，學(xué)會把證明等積式，轉(zhuǎn)化為證明三角形相似，屬于中考常考題型．