Question

2．如圖，△ABC中，CB=8，AB=6，AC=10，△ABC的內切圓交 AC于點D，點P從D出發(fā)，沿射線DC每次前進一個單位，點Q從D出發(fā)沿DA和射線AB每次前進a個單位，a為正整數且1≤a＜5，當t次前進后△APQ與△ABC相似，所有滿足條件的t為8、16、32．

Answer 1

分析 首先在Rt△ABC中，根據AB=6，AC=10，BC=8，求出OD、AD的值各是多少；然后求出當t次前進后，點P前進的距離是t，點Q前進的距離是at，再分兩種情況：（1）當∠APQ=90°時；（2）當∠AQP=90°時；根據a為正整數且1≤a＜5，求出所有滿足條件的t的值即可．

解答 解：如圖，連接OD、OE、OF，
，
∵Rt△ABC中AB=6，AC=10，BC=8，
∴（AB+BC+AC）×OD÷2=AB×BC÷2，
∴OD=6×8÷（6+8+10）=48÷24=2，
設AD=x，
則CD=CE=10-x，
BE=BF=8-（10-x）=x-2，
AF=AD=6-（x-2）=8-x，
∴x=8-x，
解得x=4，
∴當t次前進后，點P前進的距離是t，點Q前進的距離是at，
（1）當∠APQ=90°時，
∵△APQ與△ABC相似，
∴$\frac{AP}{AB}$=$\frac{AQ}{AC}$，
∴$\frac{AP}{AQ}$=$\frac{AB}{AC}$=$\frac{6}{10}$=$\frac{3}{5}$，
∴$\frac{t+4}{at-4}$=$\frac{3}{5}$，
整理，可得t=$\frac{32}{3a-5}$，
∵a為正整數且1≤a＜5，
∴a=2時，t=32；a=3時，t=8．
（2）當∠AQP=90°時，
∵△APQ與△ABC相似，
∴$\frac{AQ}{AP}$=$\frac{AB}{AC}$，
∴$\frac{at-4}{t+4}$=$\frac{3}{5}$，
整理，可得t=$\frac{32}{5a-3}$，
∵a為正整數且1≤a＜5，
∴a=1時，t=16．
綜上，可得所有滿足條件的t為8、16、32．
故答案為：8、16、32．

點評 本題主要考查三角形的內切圓與內心、相似三角形的判定與性質，掌握三角形的內心到三角形三邊的距離相等和依據相似三角形的判定討論分類是解題的關鍵．