Question

3．已知拋物線C₁的解析式為y=（x-1）²-1，將C₁沿x軸翻折得拋物線C₂．
（1）拋物線C₂的解析式是：y=-（x-1）²+1；
（2）求拋物線C₂與直線y=x的兩個交點坐標；
（3）如圖，平移拋物線C₂得拋物線C₃，并且C₃頂點P落在直線y=x上，設(shè)C₃與x軸正半軸交于點A、B，當(dāng)S_△PAB=8時，求拋物線C₃的解析式．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)拋物線C₁的解析式為y=（x-1）²-1，將C₁沿x軸翻折得拋物線C₂，可以求得拋物線C₂的解析式；
（2）將拋物線的解析式和直線y=x聯(lián)立在一起即可解答本題；
（3）根據(jù)題意可以求出點P的坐標和點A的坐標，從而可以解答本題．

解答 解：（1）∵拋物線C₁的解析式為y=（x-1）²-1，將C₁沿x軸翻折得拋物線C₂，
∴拋物線C₂的解析式是：-y=（x-1）²-1，
即拋物線C₂的解析式是：y=-（x-1）²+1，
故答案為：y=-（x-1）²+1；
（2）$\left\{\begin{array}{l}{y=-（x-1）^{2}+1}\\{y=x}\end{array}\right.$，
解得，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=0}\\{{y}_{1}=0}\end{array}\right.，\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=1}\\{{y}_{2}=1}\end{array}\right.$，
即拋物線C₂與直線y=x的兩個交點坐標是（0，0），（1，1）；
（3）設(shè)點P的坐標為（a，a），
將y=0代入y=-（x-1）²+1，得x=0或x=2，
∴點A的坐標為（2，0），
∴AB的長度為：2（a-2），
∵S_△PAB=8，
∴$\frac{2（a-2）•a}{2}=8$，
解得，a=4或a=2（舍去），
∴點P的坐標為（4，4），點A（2，0），
設(shè)拋物線C₃的解析式是y=m（x-4）²+4，
∵點A（2，0）在拋物線C₃的圖象上，
∴0=m（2-4）²+4，
解得，m=-1，
∴拋物線C₃的解析式是y=-（x-4）²+4．

點評 本題考查拋物線與x軸的交點坐標，一次函數(shù)圖象上點的坐標特征、二次函數(shù)的圖象與幾何變換，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．