Question

14．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，AC=3，過點C作直線MN∥AB，點P為直線MN上的一動點（不與C點重合），∠PAB的平分線交BC于E． 設(shè)CP=x，AP=y．
（1）若PA與線段BC交于點D，且CP=1，求CD的長；
（2）若△ABE為等腰三角形，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
（3）若PA與線段BC交于點D，△AEP是直角三角形，求CP的長．

Answer 1

分析 （1）先由勾股定理求BC，再根據(jù)平行相似得比例式$\frac{CP}{AB}=\frac{CD}{BD}$，得CD=$\frac{2}{3}$；
（2）延長AE交MN于F，構(gòu)建相似三角形，設(shè)AE=BE=a，利用勾股定理列等式求出AE和CE的長，作輔助線EG，根據(jù)計算EG的長與EC的長作對比可知：P不在射線CN上，則當P在射線CM上時，通過證明△CFE∽△BAE得比例式$\frac{CF}{AB}=\frac{CE}{BE}$，并將各線段的值代入得出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
（3）當△AEP是直角三角形時，分兩種情況討論：①當∠AEP=90°時，作AG⊥MN于G，證明△CEF≌△BEA得CF=AB，即y+x=5；根據(jù)△ACG∽△BAC，得AG=$\frac{12}{5}$，CG=$\frac{9}{5}$，F(xiàn)G=$\frac{34}{5}$；再利用勾股定理求出結(jié)論；
②當∠APE=90°時，作EH⊥AB于H，證明△PDE∽△CDA和△CDP∽△ADE，求出AH=$\frac{5}{2}$，則AP=AH=$\frac{5}{2}$，由
y=-x+$\frac{7}{5}$求出x的值并取舍；最后寫出結(jié)論．

解答 解：在Rt△ABC中，BC=$\sqrt{A{B}^{2}-A{C}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4
（1）∵MN∥AB，
∴△CPD∽△ABD，
∴$\frac{CP}{AB}=\frac{CD}{BD}$
∵CP=1，AB=5，BC=4，
∴$\frac{1}{5}=\frac{CD}{4-CD}$，解得CD=$\frac{2}{3}$；
（2）過E作EG⊥AB于G，如圖1，
∵AE=BE，
∴∠EAB=∠EBA，
∴AG=BG，
tan∠ABC=$\frac{AC}{BC}=\frac{EG}{BG}$=$\frac{3}{4}$，
設(shè)EG=3x，則AG=BG=4x，
∴8x=5，
x=$\frac{5}{8}$，
∴EG=3×$\frac{5}{8}$=$\frac{15}{8}$，
延長AE交MN于F，如圖2，
∵MN∥AB，
∴∠PFA=∠FAB．
∵∠PAE=∠FAB，
∴∠PAE=∠PFA，
∴PF=PA=y．
∵△ABE是等腰三角形，
∴AE=BE．設(shè)AE=BE=a，則CE=4-a．
∵AE²=AC²+CE²，
∴a²=3²+（4-a）²，解得a=$\frac{25}{8}$，即BE=$\frac{25}{8}$，CE=$\frac{7}{8}$，
∵MN∥AB，
∴△CFE∽△BAE，
∴$\frac{CF}{AB}=\frac{CE}{BE}$．
∵AC⊥EC，EC=$\frac{7}{8}$$＜\frac{15}{8}$，
∴當P不可能在射線CN上，
∴當P在射線CM上時（如圖2），CF=y-x，
∴$\frac{y-x}{5}=\frac{\frac{7}{8}}{\frac{25}{8}}$，y=x+$\frac{7}{5}$；
（3）如圖3，連結(jié)PE．
①當∠AEP=90°時，作AG⊥MN于G，
∵PA=PF，
∴AE=EF，
又∠CEF=∠BEA，∠CFE=∠BAE，
∴△CEF≌△BEA，
∴CF=AB，即y+x=5，
∵△ACG∽△BAC，
∴$\frac{AG}{BC}=\frac{CG}{AC}=\frac{AC}{AB}$，即$\frac{AG}{4}=\frac{CG}{3}=\frac{3}{5}$，
∴AG=$\frac{12}{5}$，CG=$\frac{9}{5}$，F(xiàn)G=$\frac{34}{5}$，
∵AG²+PG²=AP²，
∴$（\frac{12}{5}）^{2}+（\frac{34}{5}-y）^{2}={y}^{2}$，
解得y=$\frac{65}{17}$，
∴x=5-y=$\frac{20}{17}$，即CP=$\frac{20}{17}$；
②如圖4，當∠APE=90°時，作EH⊥AB于H，
∵∠APE=∠ACD，∠PDE=∠CDA，
∴△PDE∽△CDA，
∴$\frac{PD}{DE}=\frac{CD}{AD}$，
又∠CDP=∠ADE，
∴△CDP∽△ADE，
∴∠PCD=∠PAE，
∵∠PCD=∠B，∠PAE=∠BAE，
∴∠B=∠BAE，
∴AE=BE，
∴AH=BH=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{5}{2}$，
同（2）中①，得y=-x+$\frac{7}{5}$，而y=AP=AH=$\frac{5}{2}$，
∴CP=x=$\frac{7}{5}$-$\frac{5}{2}$＜0，舍去；
綜上所述，△AEP是直角三角形時，CP=$\frac{20}{17}$．

點評 本題是三角形的綜合題，考查了相似三角形、等腰三角形和勾股定理的性質(zhì)和應(yīng)用，利用相似三角形的比例式及勾股定理列等式求邊長；如果一個三角形是直角三角形，不確定哪一個角是直角的情況下要采取分類討論的方法解決．