Question

13．我們知道：分式和分?jǐn)?shù)有著很多的相似點(diǎn)，如類(lèi)比分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，我們得到了分式的基本性質(zhì)：類(lèi)比分?jǐn)?shù)的運(yùn)算法則，我們得到了分式的運(yùn)算法則，等等．小學(xué)里，把分子比分母小的分?jǐn)?shù)叫做真分?jǐn)?shù)．類(lèi)似地，我們把分子整式的次數(shù)小于分母整式的次數(shù)的分式稱(chēng)為真分式；反之，稱(chēng)為假分式，對(duì)于任何一個(gè)假分式都可以化成整式與真分式的和的形式．
如：$\frac{x+1}{x-1}$=$\frac{x-1+2}{x-1}$=$\frac{x-1}{x-1}$+$\frac{2}{x-1}$=1+$\frac{2}{x-1}$；
$\frac{2x-3}{x+1}$=$\frac{2x+2-5}{x+1}$=$\frac{2x+2}{x+1}$+$\frac{-5}{x+1}$=2+（-$\frac{5}{x+1}$）．
（1）下列分式中：①$\frac{x-1}{x+1}$，②$\frac{{x}^{2}}{x-1}$，③$\frac{4y}{2{y}^{2}+1}$，④$\frac{{m}^{2}+3}{{m}^{2}-1}$，屬于真分式的是③（填序號(hào)）；
（2）將假分式$\frac{4a+5}{2a-1}$化成整式與真分式的和的形式為：
$\frac{4a+5}{2a-1}$=2+$\frac{7}{2a-1}$，若假分式$\frac{4a+5}{2a-1}$的值為整數(shù)，則整數(shù)a的值為1或0或4或-3；
（3）將假分式$\frac{{a}^{2}-3}{a+1}$化成整式與真分式的和的形式．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)真分式的定義即可作出判斷；
（2）利用例題的方法即可將假分式$\frac{4a+5}{2a-1}$化成整式與真分式的和，假分式$\frac{4a+5}{2a-1}$的值為整數(shù)，則化成整式與真分式的和后，所得真分式的分母是分式的分子的因數(shù)，據(jù)此列方程求解；
（3）把分式的分子利用含分母的式子表示出來(lái)，先化成整式與分子和分母同此的形式，然后化成真分式的形式．

解答 解：（1）根據(jù)真分式的定義，滿足條件的只有③，故答案是③；
（2）$\frac{4a+5}{2a-1}$=$\frac{4a-2+7}{2a-1}$=$\frac{4a-2}{2a-1}$+$\frac{7}{2a-1}$．
若分式$\frac{4a+5}{2a-1}$的值為整數(shù)，則2a-1=±1或±7，則a=1或0或4或-3．
故答案是：2； $\frac{2}{2a-1}$； 1或0或4或-3；
（3）$\frac{{a}^{2}-3}{a+1}$=$\frac{{a}^{2}+a-a-3}{a+1}$=$\frac{a（a+1）}{a+1}$+$\frac{a-3}{a+1}$=a+$\frac{a+1-4}{a+1}$=a+$\frac{a+1}{a+1}$-$\frac{4}{a+1}$=a+1-$\frac{4}{a+1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了分式的化簡(jiǎn)，正確理解題意，理解把假分式化成真分式的思路是關(guān)鍵．