Question

3．定義：一個(gè)矩形的兩鄰邊之比為$\sqrt{3}$，則稱該矩形為“特比矩形”．
（1）如圖①，在“特比矩形”ABCD中，$\frac{AB}{BC}$=$\sqrt{3}$，求∠AOD的度數(shù)；
（2）如圖②，特比矩形CDEF的邊CD在半圓O的直徑AB上，頂點(diǎn)E、F在半圓上，已知直徑AB=$\sqrt{7}$，求矩形CDEF的面積；
（3）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，⊙O的半徑為$\sqrt{3}$，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（q，2$\sqrt{3}$），如果在⊙O上存在一點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線與過(guò)點(diǎn)Q作y軸的垂線交于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)P作y軸的垂線與過(guò)點(diǎn)Q作x軸的垂線交于點(diǎn)N，以點(diǎn)P、Q、M、N為頂點(diǎn)的矩形是“特比矩形”，請(qǐng)直接寫出q的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由tan∠ACB=$\frac{AB}{BC}$=$\sqrt{3}$，推出∠ACB=60°，由OC=OB，推出△OBC是等邊三角形即可解決問(wèn)題．
（2）如圖②中，連接OE，設(shè)DE=a，則CD=$\sqrt{3}$a，由Rt△FOC≌Rt△EDO，推出OC=OD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，在Rt△OED中，OE=$\frac{\sqrt{7}}{2}$，根據(jù)OE²=DE²+OD²，列出方程即可解決問(wèn)題．
（3）取兩個(gè)特殊點(diǎn)，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，再根據(jù)對(duì)稱性即可解決問(wèn)題．

解答 解：（1）如圖①中，

∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，OA=OC=OD=OB，
∴tan∠ACB=$\frac{AB}{BC}$=$\sqrt{3}$，
∴∠ACB=60°，∵OC=OB，
∴△OBC是等邊三角形，
∴∠AOD=∠BOC=60°．

（2）如圖②中，連接OE，設(shè)DE=a，則CD=$\sqrt{3}$a，

∵CF=DE，OE=OF，∠FCO=∠EDO=90°，
∴Rt△FOC≌Rt△EDO，
∴OC=OD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，
在Rt△OED中，OE=$\frac{\sqrt{7}}{2}$，
∵OE²=DE²+OD²，
∴$\frac{7}{4}$=a²+$\frac{3}{4}$a²，
∴a=1（負(fù)根已經(jīng)舍棄），
∴DE=1，CD=$\sqrt{3}$，
∴矩形CDEF的面積=1×$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$．

（3）如圖③中，

①當(dāng)點(diǎn)P在x軸正半軸上，易知PM=2$\sqrt{3}$，
∵四邊形PMQN是“特比矩形”，
∴MQ=$\sqrt{3}$PM=6，此時(shí)Q（$\sqrt{3}$+6，2$\sqrt{3}$），
當(dāng)點(diǎn)P′在y軸的正半軸上時(shí)，P′M′=$\sqrt{3}$，
∵四邊形PMQN是“特比矩形”，
∴P′M′=$\sqrt{3}$M′Q′，
∴M′Q′=1，
∴Q′（1，2$\sqrt{3}$），
根據(jù)對(duì)稱性、觀察圖象可知：點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)q的取值范圍為1≤≤$\sqrt{3}$+6或-$\sqrt{3}$-6≤q≤-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓綜合題、矩形的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)、“特比矩形”的定義等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)利用特殊點(diǎn)解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．