Question

20．數(shù)學興趣小組開展了一次課外活動，過程如下：
如圖①，正方形ABCD中，AB=6，將三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角頂點與D點重合，三角板的一邊交AB于點P，另一邊交BC的延長線于點Q．
（1）求證：AP=CQ；
（2）如圖②，小明在圖①的基礎上作∠PDQ的平分線DE交BC于點E，連接PE，他發(fā)現(xiàn)PE和QE存在一定的數(shù)量關系，請猜測他的結論并證明．
（3）如圖③，固定三角板直角頂點在D點不動，轉到三角板，使三角板的一邊交AB的延長線于點P，另一邊交BC的延長線于點Q，仍作∠PDQ的平分線DE交BC的延長線于點E，連接PE，若AB：AP=3：4，請幫小明算出△DEQ的面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意證明∠ADP=∠CDQ，再根據(jù)三角形全等的判定定理證明△ADP≌△CDQ，得到答案；
（2）證明△PDE≌△QDE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可證明結論；
（3）根據(jù)AB：AP=3：4和AB=6，求出AP的長，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求出CQ、DQ，根據(jù)角平分線的性質(zhì)求出EQ的長，根據(jù)三角形的面積公式計算得到答案．

解答 證明（1）∵四邊形ABCD正方形，
∴∠A=∠DCQ=∠ADC=90°，AD=CD，
∴∠ADP+∠PDC=90°，
∠CDQ+∠PDC=90°，
∴∠ADP=∠CDQ，
在△ADP和△CDQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠DCQ}\\{AD=CD}\\{∠ADP=∠CDQ}\end{array}\right.$，
∴△ADP≌△CDQ，
∴AP=CQ；
（2）∵DE平分∠PDQ，
∴∠PDE=∠EDQ，
∵△ADP≌△CDQ，
∴DP=DQ，
在△PDE和△QDE中，
$\left\{\begin{array}{l}{DP=DQ}\\{∠PDE=∠EDQ}\\{DE=DE}\end{array}\right.$，
∴△PDE≌△QDE，
∴PE=EQ；
（3）∵AB：AP=3：4，AB=6，
∴AP=8，則BP=2，
由勾股定理得，DP=10，
由（2）可知，CQ=AP=8，DQ=DP=10，
∵BP∥DC，
∴△PBH∽△DCH，
∴$\frac{BP}{CD}$=$\frac{BH}{CH}$=$\frac{PH}{DH}$，
∴DH=$\frac{15}{2}$，CH=$\frac{9}{2}$，則HQ=$\frac{25}{2}$，
∵DE是∠PDQ的平分線，
∴$\frac{HE}{EQ}$=$\frac{DH}{DQ}$，
∴$\frac{\frac{15}{2}}{10}$=$\frac{\frac{25}{2}-EQ}{EQ}$，
∴EQ=$\frac{50}{7}$，
則△DEQ的面積=$\frac{1}{2}×$6×$\frac{50}{7}$=$\frac{150}{7}$．

點評 本題考查的是正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)以及角平分線的性質(zhì)，靈活運用相關的定理是解題的關鍵，注意類比思想的正確運用．