Question

15．如圖，已知在等邊△ABC中，D、E是BC，AC上的點(diǎn)，AE=CD，AD與BE相交于Q，BP丄AD，則$\frac{PQ}{BQ}$的值是$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 首先證得△ABE≌△CAD，得∠ABE=∠CAD，又∠BAD+∠CAD=∠BAC=60°，所以∠BQP=∠ABE+∠BAQ=60°，所以，在直角△BPQ中，∠QBP=30°，即可解得．

解答 解：∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=AC，∠BAC=∠C=60°，
在△ABE和△CAD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=CA}\\{∠BAE=∠C}\\{AE=CD}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CAD，
∴∠ABE=∠CAD，
又∵∠BAD+∠CAD=∠BAC=60°，
∴∠BQP=∠ABE+∠BAQ=60°，
又∵BP⊥AD，
∴在直角△BPQ中，∠QBP=30°，
∴BQ=2PQ，
∴$\frac{PQ}{BQ}=\frac{1}{2}$．
故答案為：$\frac{1}{2}$

點(diǎn)評 本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)、含30度直角三角形的性質(zhì)及全等三角形的判定與性質(zhì)，考查了學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)解答問題的能力．