Question

12．如圖，直線y=x-4與x軸、y軸分別交于M、N兩點(diǎn)，⊙O的半徑為2，將⊙O以每秒1個(gè)單位的速度向右作平移運(yùn)動(dòng)，當(dāng)移動(dòng)時(shí)間4-2$\sqrt{2}$或4+2$\sqrt{2}$秒時(shí)，直線MN恰好與圓相切．

Answer 1

分析 作EF平行于MN，且與⊙O切，交x軸于點(diǎn)E，交y軸于點(diǎn)F，設(shè)直線EF的解析式為y=x+b，由⊙O與直線EF相切結(jié)合三角形的面積即可得出關(guān)于b的含絕對(duì)值符號(hào)的一元一次方程，解方程即可求b值，從而得出點(diǎn)E的坐標(biāo)，根據(jù)運(yùn)動(dòng)的相對(duì)性，即可得出結(jié)論．

解答 解：作EF平行于MN，且與⊙O切，交x軸于點(diǎn)E，交y軸于點(diǎn)F，如圖所示．
設(shè)直線EF的解析式為y=x+b，即x-y+b=0，
∵EF與⊙O相切，且⊙O的半徑為2，
∴$\frac{1}{2}$b²=$\frac{1}{2}$×2×$\sqrt{2}$|b|，
解得：b=2$\sqrt{2}$或b=-2$\sqrt{2}$，
∴直線EF的解析式為y=x+2$\sqrt{2}$或y=x-2$\sqrt{2}$，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2$\sqrt{2}$，0）或（-2$\sqrt{2}$，0）．
令y=x-4中y=0，則x=4，
∴點(diǎn)M（4，0）．
∵根據(jù)運(yùn)動(dòng)的相對(duì)性，且⊙O以每秒1個(gè)單位的速度向右作平移運(yùn)動(dòng)，
∴移動(dòng)的時(shí)間為4-2$\sqrt{2}$秒或4+2$\sqrt{2}$秒．
故答案為：4-2$\sqrt{2}$或4+2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線與圓的位置關(guān)系、一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征以及平移的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是求出點(diǎn)E、M的坐標(biāo)．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題時(shí)，巧妙的利用運(yùn)動(dòng)的相對(duì)性變移圓為移直線，降低了解題的難度．