Question

12．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別是邊BC，AC上的中點(diǎn)，連接DE，并延長(zhǎng)DE至點(diǎn)F，使EF=ED，連按AD，AF，BF，CF，線段AD與BF相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)D作DG⊥BF，垂足為點(diǎn)G．
（1）求證：四邊形ABDF是平行四邊形；
（2）當(dāng)AE=$\frac{1}{2}$DF時(shí)，試判斷四邊形ADCF的形狀，并說(shuō)明理由；
（3）若∠CBF=2∠ABF，求證：AF=2OG．

Answer 1

分析 （1）欲證明四邊形ABDF是平行四邊形，只要證明AF∥BD，AF=BD即可．
（2）結(jié)論：四邊形ADCF是矩形，只要證明∠DAF=90°即可．
（3）作AM⊥DG 于M，連接BM，先證明AM=2OG，再證明AM=AF即可解決問(wèn)題．

解答 （1）證明：∵點(diǎn)D，E分別是邊BC，AC上的中點(diǎn)，
∴ED∥AB，AE=CE，
∵EF=ED，
∴四邊形ADCF是平行四邊形，
∴AF∥BC，
∴四邊形ABDF是平行四邊形；

（2）四邊形ADCF是矩形．
理由：∵AE=$\frac{1}{2}$DF，EF=ED，
∴AE=EF=DE，
∴∠EAF=∠AFE，∠DAE=∠ADE，
∴∠DAF=∠EAF+∠EAD=$\frac{1}{2}$×180°=90°，
由（1）知：四邊形ADCF是平行四邊形；
∴四邊形ADCF是矩形；

（3）證明：作AM⊥DG 于M，連接BM．
∵四邊形ABDF是平行四邊形，
∴OA=OD，∵OG∥AM，
∴GM=GD，
∴AM=2OG，
∵BG⊥DM，GM=GD，
∴BM=BD，
∴∠CBF=∠MBG，
∵∠CBF=2∠ABF，
∴∠ABM=∠ABF，
∵AM∥BF，
∴∠MAB=∠ABF，
∴∠MAB=∠MBA，
∴AM=BM=BD=AF=2OG，
∴OG=$\frac{1}{2}$AF．

點(diǎn)評(píng) 本題考查四邊形綜合題、平行四邊形的判定和性質(zhì)、矩形的判定和性質(zhì)、三角形中位線定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用這些知識(shí)解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)添加常用輔助線，屬于中考?jí)狠S題．