Question

2．數(shù)學問題：
如圖，在數(shù)軸上點A表示的數(shù)為-20，點B表示的數(shù)為40，動點P從點A出發(fā)以每秒5個單位長度的速度沿正方向運動，動點Q從原點出發(fā)以每秒4個單位長度的速度沿正方向運動，動點N從點B出發(fā)以每秒8個單位的速度先沿負方向運動，到達原點后立即按原速返回，三點同時出發(fā)，當點N回到點B時，三點停止運動．
（1）三個動點運動t（0＜t＜5）秒時，則P、Q、N三點在數(shù)軸上所表示的三個數(shù)分別為-20+5t，4t，40-8t．
（2）當QN=10個單位長度時，求此時點P在數(shù)軸上所表示的數(shù)．
（3）嘗試借助上面數(shù)學問題的解題經(jīng)驗，建立數(shù)軸完成下面實際問題：
碼頭C位于A、B兩碼頭之間，且知AC=20海里，AB=60海里，甲船從A碼頭順流駛向B碼頭，乙船從C碼頭順流駛向B碼頭，丙船從B碼頭開往C碼頭后立即調(diào)頭返回B碼頭．已知甲船在靜水中航速為5海里/小時，乙船在靜水中航速為4海里/小時，丙船在靜水中航速為8海里/小時，水流速度為2海里/小時，三船同時出發(fā)，每艘船都行駛到B碼頭停止．
在整個運動過程中，是否存某一時刻，這三艘船中的一艘恰好在另外兩船之間，且與兩船的距離相等？若存在，請求出此時甲船離B碼頭的距離；若不存在，請說明理由．
提示：如果你不用上面數(shù)學問題中的解題方法也能完成本題，可得滿分．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)路程=速度×時間即可求解；
（2）Q、N相遇的時間為$\frac{10}{3}$秒，Q到B的時間為10秒，N到O的時間為5秒，N到B的時間為10秒．N到O前，P所表示的數(shù)為-20+5t；Q所表示的數(shù)為4t；N所表示的數(shù)為40-8t．分三種情況：①Q(mào)、N相遇前；②Q、N相遇后，N到O前；③Q、N相遇后，N到O后．分別根據(jù)QN=10列出方程；
（3）建立如圖所示的數(shù)軸A所表示的數(shù)為-20；C所表示的數(shù)為0；B所表示的數(shù)為40．分四種情況：①乙丙相遇前；②甲丙相遇前；③甲丙相遇后，丙到C前；④甲丙相遇后，丙到C后．根據(jù)這三艘船中的一艘恰好在另外兩船之間，且與兩船的距離相等列出方程．

解答 解：（1）三個動點運動t（0＜t＜5）秒時，則P、Q、N三點在數(shù)軸上所表示的三個數(shù)分別為-20+5t，4t，40-8t．
故答案為-20+5t，4t，40-8t；

（2）Q、N相遇的時間為$\frac{10}{3}$秒，Q到B的時間為10秒，N到O的時間為5秒，N到B的時間為10秒．
N到O前，P所表示的數(shù)為-20+5t；Q所表示的數(shù)為4t；N所表示的數(shù)為40-8t．
①Q(mào)、N相遇前：40-8t-4t=10，解得t=2.5，

 所以P所表示的數(shù)為-20+5×2.5=-7.5；
②Q、N相遇后，N到O前，4t-（40-8t）=10，解得t=$\frac{25}{6}$，

所以P所表示的數(shù)為-20+5×$\frac{25}{6}$=$\frac{5}{6}$；
③Q、N相遇后，N到O后：
P所表示的數(shù)為-20+5t；Q所表示的數(shù)為4t；N所表示的數(shù)為8（t-5），
4t-8（t-5）=10，解得t=7.5，

所以P所表示的數(shù)為-20+5×7.5=17.5；

（3）建立如圖所示的數(shù)軸A所表示的數(shù)為-20；C所表示的數(shù)為0；B所表示的數(shù)為40．
甲到C的時間為$\frac{20}{7}$秒，甲到B的時間為$\frac{60}{7}$秒，乙到B的時間為$\frac{20}{3}$秒，
丙到C的時間為$\frac{20}{3}$秒，丙到B的時間為$\frac{32}{3}$秒，甲遇丙的時間為$\frac{60}{13}$秒，乙遇丙的時間為$\frac{10}{3}$秒，甲追乙的時間為20（舍），丙追甲的時間為（舍）．丙到C前，甲所表示的數(shù)為-20+7t；乙所表示的數(shù)為6t；丙所表示的數(shù)為40-6t
①乙丙相遇前：6t-（-20+7t）=40-6t-6t，解得t=$\frac{20}{11}$，
所以甲船離B碼頭的距離為40-（-20+7×$\frac{20}{11}$）=$\frac{520}{11}$（海里）；
②甲丙相遇前：40-6t-（-20+7t）=6t-（40-6t），解得t=4，
所以甲船離B碼頭的距離為40-（-20+7×4）=32（海里）；
③甲丙相遇后，丙到C前：6t-（-20+7t）=-20+7t-（40-6t），解得t=$\frac{40}{7}$，
所以甲船離B碼頭的距離為40-（-20+7×$\frac{40}{7}$）=20（海里）；
④甲丙相遇后，丙到C后：甲所表示的數(shù)為-20+7t；乙所表示的數(shù)為6t；丙所表示的數(shù)為10（t-$\frac{20}{3}$）．
6t-（-20+7t）=-20+7t-10（t-$\frac{20}{3}$），解得t=$\frac{40}{3}$＞$\frac{20}{3}$（舍）．
綜上所述，在整個運動過程中，分別在$\frac{20}{11}$小時、4小時、$\frac{40}{7}$小時時，這三艘船中的一艘恰好在另外兩船之間，且與兩船的距離相等，此時甲船離B碼頭的距離分別為$\frac{520}{11}$海里，32海里，20海里．

點評 本題考查了一元一次方程的應用，數(shù)軸，兩點間的距離．正確進行分類討論是解題的關(guān)鍵也是本題的難點．