Question

7．如圖，以AB為直徑的⊙O經(jīng)過AC的中點D，DE⊥BC于點E．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）當(dāng)AB=4$\sqrt{3}$，∠C=30°時，求圖中陰影部分的面積（結(jié)果保留根號和π）．

Answer 1

分析 （1）連接OD，利用平行線的判定定理可以得到∠ODE=∠DEC=90°，從而判斷DE是圓的切線；
（2）過點O作OF⊥AD，垂足為F，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠AOD=120°，然后求得陰影部分面積即可．

解答 解：（1）連接OD，
∵AB是⊙O的直徑，D是AC的中點，
∴OD是△ABC的中位線，
∴OD∥BC，
∵DE⊥BC，
∴OD⊥DE，
∵點D在圓上，
∴DE為⊙O的切線；    

（2）過點O作OF⊥AD，垂足為F，
∵OD∥BC，∠C=∠ODF=30°，
∴∠ADO=30°，
∵OD=OA，
∴∠OAD=∠ODA=30°，
∴∠A=∠C，
∴AB=BC=4$\sqrt{3}$，
∴OD=2$\sqrt{3}$，∠AOD=120°，OF=$\sqrt{3}$，
∴AF=3，AD=6，
∴S_△AOD=$\frac{1}{2}$AD•OF=$\frac{1}{2}$×6×$\sqrt{3}$=3$\sqrt{3}$，
∴陰影部分面積S=$\frac{120π•（2\sqrt{3}）^{2}}{360}$-3$\sqrt{3}$=4$π-3\sqrt{3}$．

點評 本題目考查了切線的判定，等腰三角形的判定及性質(zhì)、圓周角定理及切線的性質(zhì)，涉及的知識點比較多，解題時候應(yīng)該注意．