Question

20．如圖，E是正方形ABCD的對角線BD上一點，EF⊥BC，EM⊥CD，垂足分別是F，M．
（1）求證：AE=FM．
（2）若tan∠DAE=$\frac{1}{3}$，MF=2$\sqrt{10}$，求正方形的面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意我們不難得出四邊形MEFC是個矩形，因此它的對角線相等．如果連接EC，那么EC=FM，要證明AE=FM，只要證明EC=AE即可．證明AE=EC就要通過全等三角形來實現(xiàn)．三角形ABE和BEC中，有∠ABD=∠CBD，有AB=BC，有一組公共邊BE，因此構成了全等三角形判定中的SAS，因此兩三角形全等，得AE=EC，即AE=MF．
（2）根據(jù)全等三角形的性質得出∠DAE=∠DCE再解答即可．

解答 （1）證明：連接EC．

∵四邊形ABCD是正方形，EF⊥BC，EM⊥CD，
∴∠MCF=∠CFE=∠CME=90°，
∴四邊形EFCM為矩形．
∴FM=CE．
又BD為正方形ABCD的對角線，
∴∠ABE=∠CBE．
在△ABE和△CBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{BE=BE}\\{∠ABE=∠CBE}\\{AB=BC}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CBE（SAS）．
∴AE=EC．
∴AE=FM；
（2）由（1）得∠DAE=∠DCE，
∵$tan∠DAE=\frac{1}{3}，MF=2\sqrt{10}$
設EM=k，MC=3k，
∴${k^2}+{（3k）^2}={（2\sqrt{10}）^2}∴k=2$，
∴EM=2，MC=6．
可得DM=EM=2．
∴DC=8，
∴S_正方形=64．

點評 本題考查了全等三角形的判定，正方形和矩形的性質等知識點，通過構建全等三角形來證明簡單的線段相等是解此類題的常用方法．