Question

1．已知：如圖1，正方形AMNS的邊長(zhǎng)為3，A、S均在x軸上，它與y軸的正半軸交于點(diǎn)C，將正方形沿直線y=$\frac{1}{3}x+m$翻折，點(diǎn)A恰好與點(diǎn)C重合，拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過(guò)A、C、N三點(diǎn)．

（1）求m的值及拋物線的解析式；
（2）如圖2，若拋物線與x軸的另一交點(diǎn)為B，點(diǎn)P為第二象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，連接BP并延長(zhǎng)交y軸于Q，過(guò)Q作BQ的垂線交直線CP于R，問(wèn)是否存在這樣的點(diǎn)P，使得BQ=RQ？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)正方形的性質(zhì)得到C（0，3），設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)是（a，0），根據(jù)翻折變換的性質(zhì)求出m的值，根據(jù)待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；
（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)是（a，-a²-2a+3），表示出BP所在的直線的解析式和RQ所在的直線的解析式，根據(jù)BQ=RQ，列出關(guān)系式，運(yùn)用分情況討論思想進(jìn)行解答即可．

解答 解：（1）∵正方形AMNS的邊長(zhǎng)為3，
∴C（0，3），
設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)是（a，0），
∵將正方形沿直線y=$\frac{1}{3}x+m$翻折，點(diǎn)A恰好與點(diǎn)C重合，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{3}×\frac{a}{2}+m=\frac{3}{2}}\\{\frac{3-0}{0-a}×\frac{1}{3}=-1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{m=\frac{4}{3}}\end{array}\right.$，
∴m的值是$\frac{4}{3}$；
∴A（1，0），S（-2，0），N（-2，3），
∵拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過(guò)A、C、N三點(diǎn)，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+b+c=0}\\{c=3}\\{4a-2b+c=3}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=-2}\\{c=3}\end{array}\right.$
∴拋物線的解析式是y=-x²-2x+3．
（2）存在這樣的點(diǎn)P，使得BQ=RQ．
如圖2，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)是（a，-a²-2a+3），BP所在的直線的解析式是y=kx+b，
則k=$\frac{{-a}^{2}-2a+3}{a+3}$=1-a，
由-3（1-a）+b=0，
解得b=3-3a，
∴BP所在的直線的解析式是：y=（1-a）x+3-3a，
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)是（0，3-3a），
∴RQ所在的直線的解析式是：y=$\frac{1}{a-1}x+3-3a$，
∵C（0，3），P（a，-a²-2a+3），
∴CP所在的直線的斜率是：$\frac{{-a}^{2}-2a+3-3}{a}=-a-2$，
∴CP所在的直線的解析式是：y=-（a+2）x+3．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{a-1}x+3-3a}\\{y=-（a+2）x+3}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3a（a-1）}{{a}^{2}+a-1}}\\{y=\frac{-{3a}^{3}+9a-3}{{a}^{2}+a-1}}\end{array}\right.$
∵BQ=RQ，
∴BQ²=RQ²，
∴9+（3-3a）²=$\frac{{{9a}^{2}（a-1）}^{2}}{{{（a}^{2}+a-1）}^{2}}+\frac{{9a}^{2}}{{{（a}^{2}+a-1）}^{2}}$，
整理，可得
（a²-2a+2）[${（\frac{a}{{a}^{2}+a-1}）}^{2}$-1]=0，
∵a²-2a+2=（a-1）²+1＞0，
∴$\frac{a}{{a}^{2}+a-1}=1$或$\frac{a}{{a}^{2}+a-1}=-1$，
①當(dāng)$\frac{a}{{a}^{2}+a-1}=1$時(shí)，
解得a=±1，
∵點(diǎn)P為第二象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，
∴a=-1，-a²-2a+3=-1+2+3=4，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是（-1，4）．
②當(dāng)$\frac{a}{{a}^{2}+a-1}=-1$時(shí)，
解得a=-1±$\sqrt{2}$，
∵點(diǎn)P為第二象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，
∴a=-1-$\sqrt{2}$，-a²-2a+3=-（3+2$\sqrt{2}$）-2（-1-$\sqrt{2}$）+3=2，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是（-1-$\sqrt{2}$，4）．
綜上，可得存在這樣的點(diǎn)P，使得BQ=RQ，點(diǎn)P的坐標(biāo)是（-1，4）或（-1-$\sqrt{2}$，4）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是二次函數(shù)的綜合運(yùn)用、翻折變換的性質(zhì)，綜合運(yùn)用二次函數(shù)的知識(shí)、掌握一元二次方程的解法是解題的關(guān)鍵，注意分情況討論思想的運(yùn)用．