Question

6．兩直角△如圖放置，∠AOB=∠ABC=90°，OA=OB=3，點(diǎn)C到OA、OB的距離分別為4，1．將△OAB沿射線OA方向移m個(gè)單位（0＜m＜3），得到新△O₁A₁B₁與△ABC重疊部分的面積記為S，則能表示S與m的函數(shù)關(guān)系如圖象是（　�。�

• A．
• B．
• C．
• D．

Answer 1

分析 ①當(dāng)0＜m≤$\frac{3\sqrt{2}}{2}$時(shí)，如圖1，設(shè)A₁B₁與AC交于D，過D作DG⊥AO于G，過C作CE⊥OA于E，CF⊥OB于F，由已知條件得到OE=CF=1，CE=4，OO₁=AA₁=m，得到DG=A₁G=2m-1，于是求得S=3m-$\frac{1}{2}$m²-$\frac{1}{2}$m（2m-1）=-$\frac{3}{2}$m²$+\frac{7}{2}$m；②當(dāng)$\frac{3\sqrt{2}}{2}$＜m＜3時(shí)，如圖2，設(shè)AB與AC交于D，AC與B₁O₁交于G，過D作DG⊥AO于G，過C作CE⊥OA于E，CF⊥OB于F，求得AO₁=DO₁=3-m，根據(jù)GO₁∥CE，得到$\frac{G{O}_{1}}{CE}=\frac{A{O}_{1}}{AE}$，求出GO₁=6-2m，于是得到S=$\frac{1}{2}$（3-m）（6-2m）-$\frac{1}{2}$（3-m）（3-m）=$\frac{1}{2}$m²-3m+$\frac{9}{2}$．

解答 解：①當(dāng)0＜m≤$\frac{3\sqrt{2}}{2}$時(shí)，如圖1，
設(shè)A₁B₁與AC交于D，過D作DG⊥AO于G，過C作CE⊥OA于E，CF⊥OB于F，
∵C到OA、OB的距離分別為4，1，
∴OE=CF=1，CE=4，
∴AE=2，DG=A₁G，
∵將△OAB沿射線OA方向移m個(gè)單位（0＜m＜3），得到新△O₁A₁B₁，
∴OO₁=AA₁=m，
∴DG=A₁G=2m-1，
∴S=3m-$\frac{1}{2}$m²-$\frac{1}{2}$m（2m-1）=-$\frac{3}{2}$m²$+\frac{7}{2}$m，
②當(dāng)$\frac{3\sqrt{2}}{2}$＜m＜3時(shí)，如圖2，
設(shè)AB與AC交于D，AC與B₁O₁交于G，過D作DG⊥AO于G，過C作CE⊥OA于E，CF⊥OB于F，
∵C到OA、OB的距離分別為4，1，
∴OE=CF=1，CE=4，
∴OO₁=AA₁=m，
∴AO₁=DO₁=3-m，
∵GO₁∥CE，
∴$\frac{G{O}_{1}}{CE}=\frac{A{O}_{1}}{AE}$，
∴GO₁=6-2m，
∴S=$\frac{1}{2}$（3-m）（6-2m）-$\frac{1}{2}$（3-m）（3-m）=$\frac{1}{2}$m²-3m+$\frac{9}{2}$，
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖象，等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形面積的求法，正確的畫出圖形是解題的關(guān)鍵．