Question

4．已知：拋物線y=ax²+bx+c（a≠0），頂點C（1，-4），與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點N（0，-3）．
（1）求這條拋物線的解析式；
（2）如圖，以AB為直徑作⊙M，與拋物線交于點D，與拋物線的對稱軸交于點E，依次連接A、D、B、E，點Q為線段AB上一個動點（Q與A、B兩點不重合），過點Q作QF⊥AE于F，QG⊥DB于G，請判斷$\frac{QF}{BE}+\frac{QG}{AD}$是否為定值？若是，請求出此定值；若不是，請說明理由；
（3）請求出拋物線與（2）中⊙M的所有交點坐標．

Answer 1

分析 （1）可將拋物線的解析式設(shè)為頂點式，然后將N點坐標代入，即可求得拋物線的解析式；
（2）根據(jù)兩對相似三角形：△AQF、△ABE和△BGQ、△BDA得出的對應(yīng)成比例線段，即可求出所求的代數(shù)式是否為定值；
（3）過點D作DN⊥AB，垂足為N，令y=0得：x²-2x-3=0，解得：x₁=3，x₂=-1，可知點A（-1，0）、點B（3，0），設(shè)點D的坐標為（m，m²-2m-3），然后證明△ADN∽△DBN，利用相似三角形的性質(zhì)可知$\frac{AN}{DN}=\frac{DN}{BN}$，即：$\frac{m+1}{-{（m}^{2}-2m-3）}=\frac{-（{m}^{2}-2m-3）}{3-m}$，從而可解得m的值，從而可求得點D的坐標為（1-$\sqrt{3}$，-1），點D′的坐標為（1+$\sqrt{3}$，-1）．

解答 解：（1）設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-1）²-4，
將N（0，-3）代入解析式得：-3=a（0-1）²-4，
∴a=1，
∵拋物線的解析式為y=（x-1）²-4，即y=x²-2x-3；
（2）是定值：$\frac{QF}{BE}+\frac{QG}{AD}$=1，
理由：∵AB是直徑，
∴∠AEB=90°，
∵QF⊥AE，
∴QF∥BE，
∴△AQF∽△ABE，
∴$\frac{QF}{BE}$=$\frac{AQ}{AB}$，
同理：$\frac{QG}{AD}$=$\frac{QB}{AB}$，
∴$\frac{QF}{BE}+\frac{QG}{AD}$=$\frac{AQ}{AB}+\frac{QB}{AB}$=$\frac{AQ+QB}{AB}$=$\frac{AB}{AB}$=1；
（3）如圖所示，過點D作DN⊥AB，垂足為N．

令y=0得：x²-2x-3=0，解得：x₁=3，x₂=-1，
∴點A的坐標為（-1，0）、點B的坐標為（3，0）．
設(shè)點D的坐標為（m，m²-2m-3），
∵AB是直徑，
∴∠ADB=90°．
∴∠ADN+∠NDB=90°．
∵∠NDB+∠DBN=90°，
∴∠ADN=∠DBN．
又∵∠AND=∠BND=90°，
∴△ADN∽△DBN．
∴$\frac{AN}{DN}=\frac{DN}{BN}$，即：$\frac{m+1}{-{（m}^{2}-2m-3）}=\frac{-（{m}^{2}-2m-3）}{3-m}$
解得：m₁=-1（舍去），m₂=3（舍去），${m}_{3}=1-\sqrt{3}$，${m}_{4}=1+\sqrt{3}$．
當m=1-$\sqrt{3}$時，m²-2m-3=$（1-\sqrt{3}）^{2}-2（1-\sqrt{3}）-3$=1，
當m=1+$\sqrt{3}$時，m²-2m-3=$（1+\sqrt{3}）^{2}-2（1+\sqrt{3}）-3$=1．
∴點D的坐標為（1-$\sqrt{3}$，-1），點D′的坐標為（1+$\sqrt{3}$，-1）．
綜上所述，拋物線與圓的交點坐標分別為A（-1，0）、B（3，0）、D（1-$\sqrt{3}$，-1）、D′（1+$\sqrt{3}$，-1）．

點評 本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了相似三角形的性質(zhì)、圓的性質(zhì)和二次函數(shù)的性質(zhì)和因式分解法-解方程．設(shè)設(shè)點D的坐標為（m，m²-2m-3），然后證得△ADN∽△DBN，利用相似三角形的性質(zhì)得到關(guān)于m的方程，然后解得m的值是解題的關(guān)鍵．