Question

19．如圖，在⊙O的內(nèi)接△ABC中，∠ACB=90°，tan∠CAB=$\frac{1}{2}$，過(guò)C作AB的垂線l交⊙O于另一點(diǎn)D，垂足為E．設(shè)P是$\widehat{AC}$上異于A，C的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，射線AP交l于點(diǎn)F，連接PC與PD，PD交AB于點(diǎn)G．
（1）求證：△PAC∽△PDF；
（2）若AB=5，$\widehat{AP}$=$\widehat{BP}$，求PD的長(zhǎng)；
（3）在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，設(shè)$\frac{AG}{BG}$=x，tan∠AFD=y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式．（不要求寫(xiě)出x的取值范圍）

Answer 1

分析 （1）證明相似，思路很常規(guī)，就是兩個(gè)角相等或邊長(zhǎng)成比例．因?yàn)轭}中由圓周角易知一對(duì)相等的角，那么另一對(duì)角相等就是我們需要努力的方向，因?yàn)樯婕皥A，傾向于找接近圓的角∠DPF，利用補(bǔ)角在圓內(nèi)作等量代換，等弧對(duì)等角等知識(shí)易得∠DPF=∠APC，則結(jié)論易證．
（2）求PD的長(zhǎng)，且此線段在上問(wèn)已證相似的△PDF中，很明顯用相似得成比例，再將其他邊代入是應(yīng)有的思路．利用已知條件易得其他邊長(zhǎng)，則PD可求．
（3）因?yàn)轭}目涉及∠AFD與也在第一問(wèn)所得相似的△PDF中，進(jìn)而考慮轉(zhuǎn)化，∠AFD=∠PCA，連接PB得∠AFD=∠PCA=∠PBG，過(guò)G點(diǎn)作AB的垂線，若此線過(guò)PB與AC的交點(diǎn)那么結(jié)論易求，因?yàn)楦鶕?jù)三角函數(shù)或三角形與三角形ABC相似可用AG表示∠PBG所對(duì)的這條高線．但是“此線是否過(guò)PB與AC的交點(diǎn)”？此時(shí)首先需要做的是多畫(huà)幾個(gè)動(dòng)點(diǎn)P，觀察我們的猜想．驗(yàn)證得我們的猜想應(yīng)是正確的，可是證明不能靠畫(huà)圖，如何求證此線過(guò)PB與AC的交點(diǎn)是我們解題的關(guān)鍵．常規(guī)作法不易得此結(jié)論，我們可以換另外的輔助線作法，先做垂線，得交點(diǎn)H，然后連接交點(diǎn)與B，再證明∠HBG=∠PCA=∠AFD．因?yàn)镃、D關(guān)于AB對(duì)稱(chēng)，可以延長(zhǎng)CG考慮P點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)．根據(jù)等弧對(duì)等角，可得∠HBG=∠PCA，進(jìn)而得解題思路．

解答 解：（1）∵四邊形APCB內(nèi)接于圓O，
∴∠FPC=∠B．
又∵∠B=∠ACE=90°-∠BCE，∠ACE=∠APD，
∴∠APD=∠FPC，∠APD+∠DPC=∠FPC+∠DPC，即∠APC=∠FPD，
又∵∠PAC=∠PDC，
∴△PAC∽△PDF；

（2）如圖1，連接PO，則由$\widehat{AP}$=$\widehat{BP}$，有PO⊥AB，且∠PAB=45°，△APO、△AEF都為等腰直角三角形．
在Rt△ABC中，
∵tan∠CAB=$\frac{1}{2}$，
∴AC=2BC，
∴AB²=BC²+AC²=5BC²，
∵AB=5，
∴BC=$\sqrt{5}$，
∴AC=2$\sqrt{5}$，
∴CE=AC•sin∠BAC=AC•$\frac{BC}{AB}$=2$\sqrt{5}$•$\frac{\sqrt{5}}{5}$=2，
  AE=AC•cos∠BAC=AC•$\frac{AC}{AB}$=2$\sqrt{5}$•$\frac{2\sqrt{5}}{5}$=4，
∵△AEF為等腰直角三角形，
∴EF=AE=4，
∴FD=FC+CD=（EF-CE）+2CE=EF+CE=4+2=6．
∵△APO為等腰直角三角形，AO=$\frac{1}{2}$•AB=$\frac{5}{2}$，
∴AP=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$．
∵△PDF∽△PAC，
∴$\frac{PD}{FD}$=$\frac{PA}{CA}$，
∴$\frac{PD}{6}$=$\frac{\frac{5\sqrt{2}}{2}}{2\sqrt{5}}$，
∴PD=$\frac{3\sqrt{10}}{2}$．

（3）如圖2，過(guò)點(diǎn)G作GH⊥AB，交AC于H，連接HB，以HB為直徑作圓，連接CG并延長(zhǎng)交⊙O于Q，
∵HC⊥CB，GH⊥GB，
∴C、G都在以HB為直徑的圓上，
∴∠HBG=∠ACQ，
∵C、D關(guān)于AB對(duì)稱(chēng)，G在AB上，
∴Q、P關(guān)于AB對(duì)稱(chēng)，
∴$\widehat{AP}$=$\widehat{AQ}$，
∴∠PCA=∠ACQ，
∴∠HBG=∠PCA．
∵△PAC∽△PDF，
∴∠PCA=∠PFD=∠AFD，
∴y=tan∠AFD=tan∠PCA=tan∠HBG=$\frac{HG}{BG}$．
∵HG=tan∠HAG•AG=tan∠BAC•AG=$\frac{BC}{AC}$•AG=$\frac{1}{2}$•AG，
∴y=$\frac{1}{2}$•$\frac{AG}{BG}$=$\frac{1}{2}$x．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是圓的綜合題，涉及到圓周角、相似三角形、三角函數(shù)等性質(zhì)，前兩問(wèn)思路還算簡(jiǎn)單，但最后一問(wèn)需要熟練的解題技巧需要長(zhǎng)久的磨練總結(jié)．總體來(lái)講本題偏難，學(xué)生練習(xí)時(shí)加強(qiáng)理解，重點(diǎn)理解分析過(guò)程，自己如何找到思路．