Question

11．已知，如圖，AB是⊙O的直徑，點C為⊙O上一點，OF⊥BC于點F，交⊙O于點E，AE與BC交于點H，點D為OE的延長線上一點，且∠ODB=∠AEC．
（1）求證：BD是⊙O的切線；
（2）求證：CE²=EH•EA；
（3）若⊙O的半徑為5，sinA=$\frac{3}{5}$，求BH的長．

Answer 1

分析 （1）由圓周角定理和已知條件證出∠ODB=∠ABC，再證出∠ABC+∠DBF=90°，即∠OBD=90°，即可得出BD是⊙O的切線；
（2）連接AC，由垂徑定理得出$\widehat{BE}=\widehat{CE}$，得出∠CAE=∠ECB，再由公共角∠CEA=∠HEC，證明△CEH∽△AEC，得出對應邊成比例$\frac{CE}{EH}=\frac{EA}{CE}$，即可得出結論；
（3）連接BE，由圓周角定理得出∠AEB=90°，由三角函數(shù)求出BE，再根據(jù)勾股定理求出EA，得出BE=CE=6，由（2）的結論求出EH，然后根據(jù)勾股定理求出BH即可．

解答 （1）證明：∵∠ODB=∠AEC，∠AEC=∠ABC，
∴∠ODB=∠ABC，
∵OF⊥BC，
∴∠BFD=90°，
∴∠ODB+∠DBF=90°，
∴∠ABC+∠DBF=90°，
即∠OBD=90°，
∴BD⊥OB，
∴BD是⊙O的切線；
（2）證明：連接AC，如圖1所示：
∵OF⊥BC，
∴$\widehat{BE}=\widehat{CE}$，
∴∠CAE=∠ECB，
∵∠CEA=∠HEC，
∴△CEH∽△AEC，
∴$\frac{CE}{EH}=\frac{EA}{CE}$，
∴CE²=EH•EA；
（3）解：連接BE，如圖2所示：
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠AEB=90°，
∵⊙O的半徑為5，sin∠BAE=$\frac{3}{5}$，
∴AB=10，BE=AB•sin∠BAE=10×$\frac{3}{5}$=6，
∴EA=$\sqrt{A{B}^{2}-B{E}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}-{6}^{2}}$=8，
∵$\widehat{BE}=\widehat{CE}$，
∴BE=CE=6，
∵CE²=EH•EA，
∴EH=$\frac{{6}^{2}}{8}$=$\frac{9}{2}$，
在Rt△BEH中，BH=$\sqrt{B{E}^{2}+E{H}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+（\frac{9}{2}）^{2}}$=$\frac{15}{2}$．

點評 本題是圓的綜合題目，考查了切線的判定、圓周角定理、圓心角、弧、弦之間的關系定理、勾股定理、三角函數(shù)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識；本題難度較大，綜合性強，特別是（2）（3）中，需要通過作輔助線證明三角形相似和運用三角函數(shù)、勾股定理才能得出結果．