Question

3．如圖，AB為⊙O的直徑，P是BA延長線上一點，PC切⊙O于點C，CG是⊙O的弦，CG⊥AB，垂足為D．
（1）求證：∠PCA=∠ABC；
（2）過點A作AE∥PC，交⊙O于點E，交CD于點F，連接BE．若sin∠P=$\frac{3}{5}$，CF=5，求BE的長．

Answer 1

分析 （1）連接OC，由PC切⊙O于點C，得到OC⊥PC，于是得到∠PCA+∠OCA=90°，由AB為⊙O的直徑，得到∠ABC+∠OAC=90°，由于OC=OA，證得∠OCA=∠OAC，于是得到結(jié)論；
（2）由AE∥PC，得到∠PCA=∠CAF根據(jù)垂徑定理得到$\widehat{AC}=\widehat{AG}$，于是得到∠ACF=∠ABC，由于∠PCA=∠ABC，推出∠ACF=∠CAF，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到CF=AF，在R_t△AFD中，AF=5，sin∠FAD=$\frac{3}{5}$，求得FD=3，AD=4，CD=8，在R_t△OCD中，設(shè)OC=r，根據(jù)勾股定理得到方程r²=（r-4）²+8²，解得r=10，得到AB=2r=20，由于AB為⊙O的直徑，得到∠AEB=90°，在R_t△ABE中，由sin∠EAD=$\frac{3}{5}$，得到$\frac{BE}{AB}=\frac{3}{5}$，于是求得結(jié)論．

解答 （1）證明：連接OC，
∵PC切⊙O于點C，
∴OC⊥PC，
∴∠PCO=90°，
∴∠PCA+∠OCA=90°，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠ABC+∠OAC=90°，
∵OC=OA，
∴∠OCA=∠OAC，
∴∠PCA=∠ABC；

（2）解：∵AE∥PC，
∴∠PCA=∠CAF，
∵AB⊥CG，
∴$\widehat{AC}=\widehat{AG}$，
∴∠ACF=∠ABC，
∵∠PCA=∠ABC，
∴∠ACF=∠CAF，
∴CF=AF，
∵CF=5，
∴AF=5，
∵AE∥PC，
∴∠FAD=∠P，
∵sin∠P=$\frac{3}{5}$，
∴sin∠FAD=$\frac{3}{5}$，
在R_t△AFD中，AF=5，sin∠FAD=$\frac{3}{5}$，
∴FD=3，AD=4，∴CD=8，
在R_t△OCD中，設(shè)OC=r，
∴r²=（r-4）²+8²，
∴r=10，
∴AB=2r=20，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠AEB=90°，在R_t△ABE中，
∵sin∠EAD=$\frac{3}{5}$，∴$\frac{BE}{AB}=\frac{3}{5}$，
∵AB=20，
∴BE=12．

點評 本題考查了切線的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，連接OC構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．