Question

18．已知：如圖1，在矩形ABCD中，BD是對(duì)角線，以BD為斜邊向上作等腰直角△EBD，BE交AD于點(diǎn)F，連接AE．
（1）若BE=$\sqrt{5}$，AB=$\frac{1}{3}$BC，求矩形ABCD的面積；
（2）若點(diǎn)F是BE中點(diǎn)，求證：AE=$\sqrt{2}$CD；
（3）如圖2，若AE=AB，直接寫出$\frac{EF}{BD}$的值．

Answer 1

分析 （1）先求出BD，設(shè)AB=a，BC=3a，利用勾股定理求出a即可解決問題．
（2）設(shè)BF=EF=a，則ED=BE=2a，DF=$\sqrt{5}$a，由△ABF∽△EDF，得到=$\frac{AF}{EF}$=$\frac{AB}{ED}$=$\frac{BF}{DF}$，求出AB、AF，再證明△AFE∽△BFD，求出AE即可解決問題．
（3）如圖3中，作EN⊥AD于N，在BC上截取一點(diǎn)M使得BM=DM．先證明△ENF∽△BCD，得$\frac{EF}{BD}$=$\frac{EN}{BC}$，設(shè)EN=a，求出BC即可解決問題．

解答 （1）解：如圖1中，

∵BE=ED=$\sqrt{5}$，∠BED=90°，
∴BD=$\sqrt{2}$BE=$\sqrt{10}$，
∵BC=3AB，設(shè)AB=a，則BC=3a，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠C=90°，
∴a²+9a²=10，
∴a=1，
∴BC=3，CD=1，
∴矩形ABCD的面積為10．

（2）如圖2中，

∵BF=EF，設(shè)BF=EF=a，則ED=BE=2a，DF=$\sqrt{5}$a，
∵∠AFB=∠EFD，∠BAF=∠FED，
∴△ABF∽△EDF，
∴$\frac{AF}{EF}$=$\frac{AB}{ED}$=$\frac{BF}{DF}$，
∴AF=$\frac{\sqrt{5}}{5}$a，AB=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$a，
∴BD=$\sqrt{A{B}^{2}+A{D}^{2}}$=2$\sqrt{2}$a，
∵$\frac{AF}{BF}$=$\frac{EF}{DF}$，∠AFE=∠BFD，
∴△AFE∽△BFD，
∴$\frac{AE}{BD}$=$\frac{EF}{DF}$，
∴$\frac{AE}{2\sqrt{2}a}$=$\frac{a}{\sqrt{5}a}$，
∴AE=$\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$a，
∴$\frac{AE}{CD}$=$\frac{\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{5}}a}{\frac{2\sqrt{5}}{5}a}$=$\sqrt{2}$，
∴AE=$\sqrt{2}$CD．

（3）如圖3中，作EN⊥AD于N，在BC上截取一點(diǎn)M使得BM=DM．

∵AB=AE，
∴∠ABE=∠AEB，
∵△AFE∽△BFD，△ABF∽△EDF，
∴∠AEB=∠BDF，∠ABF=∠EDF，
∴∠EDF=∠ADB=22.5°，
∵∠ENF=∠C=90°，∠EFN=∠BDC=67.5°，
∴△ENF∽△BCD，
∴$\frac{EF}{BD}$=$\frac{EN}{BC}$，設(shè)EN=a．
∵∠EAF=∠FBD=45°，
∴∠NAE=∠NEA=45°，
∴AN=EN=a，AE=AB=CD=$\sqrt{2}$a，
∵BM=MD，
∴∠MBD=∠MDB=22.5°，
∴∠DMC=45°=∠MDC，
∴CM=CD=$\sqrt{2}$a，BM=DM=2a，
∴BC=（2+$\sqrt{2}$）a，
∴$\frac{EF}{BD}$=$\frac{EN}{BC}$=$\frac{a}{（2+\sqrt{2}）a}$=$\frac{2-\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查四邊形綜合題、矩形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找相似三角形，學(xué)會(huì)添加常用輔助線，屬于中考?jí)狠S題．