Question

16．如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D為BC的中點(diǎn)．若點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，AC上的點(diǎn)，且∠EDF=90°，下列結(jié)論中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（　�。�
①△AED≌△CFD  ②（BE+CF）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BC  ③S_△AEF≤$\frac{1}{4}$S_△ABC  ④S_{四邊形AEDF}=AD•EF．

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 ①根據(jù)直角三角形斜邊中線等于斜邊一半得AD=DC，由三線合一及等腰直角三角形得∠BAD=∠C=45°，再證∠EDA=∠FDC，則△AED≌△CFD；
②根據(jù)全等可知：AE=CF，并由三角函數(shù)得：AB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BC，代入AB=AE+BE中即可；
③設(shè)AB=AC=a，AE=CF=x，計(jì)算△AEF的面積并求最大值，與$\frac{1}{4}$S_△ABC 對(duì)比，可知結(jié)論正確；
④因?yàn)樗倪呅蜛EDF的面積是△ADE和△ADF面積的和，由①知：△AED≌△CFD，則面積也相等，所以四邊形AEDF的面積就是△ADC的面積，則四邊形AEDF的面積=$\frac{1}{2}$AD•DC，則結(jié)論錯(cuò)誤．

解答 解：①∵∠BAC=90°，D為BC的中點(diǎn)，
∴AD=DC=$\frac{1}{2}$BC，
∵AB=AC，
∴∠BAD=∠DAC=$\frac{1}{2}$×90°=45°，∠C=45°，
∴∠BAD=∠C，
∵∠EDF=90°，
∴∠EDA+∠ADF=90°，
∵∠FDC+∠ADF=90°，
∴∠EDA=∠FDC，
∴△AED≌△CFD，
所以選項(xiàng)①正確；
②由△AED≌△CFD得：AE=FC，
∴BE+CF=BE+AE=AB，
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴BC=$\sqrt{2}$AB，
∴AB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BC，
∴BE+CF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BC，
所以選項(xiàng)②正確；
③設(shè)AB=AC=a，AE=CF=x，則AF=a-x，
∴S_△AEF=$\frac{1}{2}$AE•AF，
=$\frac{1}{2}$x（a-x），
=-$\frac{1}{2}$（x-$\frac{1}{2}$a）²+$\frac{1}{8}{a}^{2}$，
∴當(dāng)x=$\frac{1}{2}$a時(shí)，S△AEF有最大值為$\frac{1}{8}{a}^{2}$，
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•AC=$\frac{1}{2}{a}^{2}$，
∴S_△AEF≤$\frac{1}{4}$S_△ABC，
所以選項(xiàng)③正確；
④∵S_{四邊形AEDF}=S_△ADE+S_△ADF，
=S_△DFC+S_△ADF，
=S_△ADC，
=$\frac{1}{2}$AD•DC，
而EF與$\frac{1}{2}$DC不相等，所以選項(xiàng)④錯(cuò)誤．
∴本題正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是3個(gè)，
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定．等腰直角三角形的性質(zhì)及三角形的面積計(jì)算，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)和判定是解題的關(guān)鍵；理解不規(guī)則四邊形的面積由和的形式轉(zhuǎn)化為一個(gè)三角形的面積，把三角形面積大小的比較轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題，使問題得以解決．