Question

17．如圖，四邊形ABCD為矩形，O為AC中點，過點O作AC的垂線分別交AD、BC于點E、F，連接AF、CE．
（1）求證：四邊形AFCE是菱形．
（2）若AC=8，EF=6，求BF的長．

Answer 1

分析 （1）由條件可先證四邊形AFCE為平行四邊形，再結(jié)合線段垂直平分線的性質(zhì)可證得結(jié)論；
（2）由菱形的性質(zhì)可求得AE=CF=5，設(shè)BF=x，在Rt△ABF和Rt△ABC中，分別利用勾股定理可得到關(guān)于x的方程，可求得BF的長．

解答 （1）證明：
∵O為AC中點，EF⊥AC，
∴EF為AC的垂直平分線，
∴EA=EC，F(xiàn)A=FC，
∴∠EAC=∠ECA，∠FAC=∠FCA．
∵AE∥CF，
∴∠EAC=∠FCA，
∴∠FAC=∠ECA，
∴AF∥CE，
∴四邊形AFCE平行四邊形．
又∵EA=EC，
∴平行四邊形AFCE是菱形．
（2）∵四邊形AFCE是菱形，AC=8，EF=6，
∴OE=3，OA=4，
∴AE=CF=5，
設(shè)BF=x，
在Rt△ABF中，AB²=AF²-BF²，在Rt△ABC中，AB²=AC²-BC²．
∴5²-x²=8²-（x+5）²，
解得$x=\frac{7}{5}$，
∴$BF=\frac{7}{5}$．

點評 本題主要考查菱形的判定和性質(zhì)，掌握菱形的判定方法和菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，在求BF的長時，注意方程思想的應(yīng)用．