Question

14．如圖，在?ABCD中，F(xiàn)是AD的中點(diǎn)，延長BC到點(diǎn)E，使CE=$\frac{1}{2}$BC，連接DE，CF．
（1）求證：DE=CF；
（2）若AB=4，AD=6，∠B=60°，求DE的長．

Answer 1

分析 （1）由“平行四邊形的對(duì)邊平行且相等”的性質(zhì)推知AD∥BC，且AD=BC；然后根據(jù)中點(diǎn)的定義、結(jié)合已知條件推知四邊形CEDF的對(duì)邊平行且相等（DF=CE，且DF∥CE），得出四邊形CEDF是平行四邊形，即可得出結(jié)論；
（2）如圖，過點(diǎn)D作DH⊥BE于點(diǎn)H，構(gòu)造含30度角的直角△DCH和直角△DHE．通過解直角△DCH和在直角△DHE中運(yùn)用勾股定理來求線段ED的長度．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD=BC，AD∥BC．
又∵F是AD的中點(diǎn)，∴FD=$\frac{1}{2}$AD．
∵CE=$\frac{1}{2}$BC，
∴FD=CE．
又∵FD∥CE，
∴四邊形CEDF是平行四邊形．
∴DE=CF．
（2）解：過D作DG⊥CE于點(diǎn)G．如圖所示：
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，CD=AB=4，BC=AD=6．
∴∠DCE=∠B=60°．
在Rt△CDG中，∠DGC=90°，
∴∠CDG=30°，
∴CG=$\frac{1}{2}$CD=2．
由勾股定理，得DG=$\sqrt{C{D}^{2}-C{G}^{2}}$=2$\sqrt{3}$．
∵CE=$\frac{1}{2}$BC=3，
∴GE=1．
在Rt△DEG中，∠DGE=90°，
∴DE=$\sqrt{D{G}^{2}+G{E}^{2}}$=$\sqrt{13}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、勾股定理、直角三角形的性質(zhì)．熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．