Question

11．如圖，已知正方形ABCD邊長為1，∠EAF=45°，AE=AF，則有下列結(jié)論：
①∠1=∠2=22.5°；
②點C到EF的距離是$\sqrt{2}-1$；
③△ECF的周長為2；
④BE+DF＞EF．
其中正確的結(jié)論是①②③．（寫出所有正確結(jié)論的序號）

Answer 1

分析 先證明Rt△ABE≌Rt△ADF得到∠1=∠2，易得∠1=∠2=∠22.5°，于是可對①進行判斷；連結(jié)EF、AC，它們相交于點H，如圖，利用Rt△ABE≌Rt△ADF得到BE=DF，則CE=CF，接著判斷AC垂直平分EF，AH平分∠EAF，于是利用角平分線的性質(zhì)定理得到EB=EH，F(xiàn)D=FH，則可對③④進行判斷；設(shè)BE=x，則EF=2x，CE=1-x，利用等腰直角三角形的性質(zhì)得到2x=$\sqrt{2}$（1-x），解得x=$\sqrt{2}$-1，則可對④進行判斷．

解答 解：∵四邊形ABCD為正方形，
∴AB=AD，∠BAD=∠B=∠D=90°，
在Rt△ABE和Rt△ADF中
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AF}\\{AB=AD}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF，
∴∠1=∠2，
∵∠EAF=45°，
∴∠1=∠2=∠22.5°，所以①正確；
連結(jié)EF、AC，它們相交于點H，如圖，
∵Rt△ABE≌Rt△ADF，
∴BE=DF，
而BC=DC，
∴CE=CF，
而AE=AF，
∴AC垂直平分EF，AH平分∠EAF，
∴EB=EH，F(xiàn)D=FH，
∴BE+DF=EH+HF=EF，所以④錯誤；
∴△ECF的周長=CE+CF+EF=CE+BE+CF+DF=CB+CD=1+1=2，所以③正確；
設(shè)BE=x，則EF=2x，CE=1-x，
∵△CEF為等腰直角三角形，
∴EF=$\sqrt{2}$CE，即2x=$\sqrt{2}$（1-x），解得x=$\sqrt{2}$-1，
∴EF=2（$\sqrt{2}$-1），
∴CH=$\frac{1}{2}$EF=$\sqrt{2}$-1，所以②正確．
故答案為①②③．

點評 本題考查了四邊形的綜合題：熟練掌握正方形的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)定理．解決本題的關(guān)鍵是證明AC垂直平分EF．