Question

19．已知B港口位于A觀測點北偏東45°方向，且其到A觀測點正北風向的距離BM的長為10$\sqrt{2}$km，一艘貨輪從B港口沿如圖所示的BC方向航行4$\sqrt{7}$km到達C處，測得C處位于A觀測點北偏東75°方向，則此時貨輪與A觀測點之間的距離AC的長為（　�。﹌m．

• A． 8$\sqrt{3}$
• B． 9$\sqrt{3}$
• C． 6$\sqrt{3}$
• D． 7$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 根據∠MAB=45°，BM=10$\sqrt{2}$和勾股定理求出AB的長，再根據tan∠BAD=$\frac{BD}{AD}$，求出BD的長，即可得出AD以及CD的長，進而得出答案．

解答 解：∵∠MAB=45°，BM=10$\sqrt{2}$，
∴AB=$\sqrt{B{M}^{2}+M{A}^{2}}$=$\sqrt{（10\sqrt{2}）^{2}+（10\sqrt{2}）^{2}}$=20km，
過點B作BD⊥AC，交AC的延長線于D，
在Rt△ADB中，∠BAD=∠MAC-∠MAB=75°-45°=30°，
tan∠BAD=$\frac{BD}{AD}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴AD=$\sqrt{3}$BD，
BD²+AD²=AB²，即BD²+（$\sqrt{3}$BD）²=20²，
∴BD=10，
∴AD=10$\sqrt{3}$，
在Rt△BCH中，BD²+CD²=BC²，BC=4$\sqrt{7}$，
∴CD=2$\sqrt{3}$，
∴AC=AD-CD=10$\sqrt{3}$-2$\sqrt{3}$=8$\sqrt{3}$km，
答：此時貨輪與A觀測點之間的距離AC的長為8$\sqrt{3}$km．
故選A．

點評 此題主要考查了解直角三角形中方向角問題，根據題意作出輔助線，構造直角三角形，求出BD的長是解題關鍵．