Question

12．對于長方形OABC，AB∥OC，AO∥BC，O為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，OA=5，OC=3，點(diǎn)B在第三象限．
（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）如圖1，若過點(diǎn)B的直線BP與長方形OABC的邊交于點(diǎn)P，且將長方形OABC的面積分為1：4兩部分，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）如圖2，M為x軸負(fù)半軸上一點(diǎn)，且∠CBM=∠CMB，N是x軸正半軸上一動點(diǎn)，∠MCN的平分線CD交BM的延長線于點(diǎn)D，在點(diǎn)N運(yùn)動的過程中，$\frac{∠D}{∠CNM}$的值是否變化？若不變，求出其值；若變化，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)的意義求解；
（2）分類討論：當(dāng)點(diǎn)P在OA上時，設(shè)P（x，0）（x＜0），根據(jù)題意得S_△ABP=$\frac{1}{5}$S_矩形OABC，則$\frac{1}{2}$•3•（x+5）=$\frac{1}{5}$•5•3；當(dāng)點(diǎn)P在OC上時，設(shè)P（0，y）（y＜0），根據(jù)題意得S_△CBP=$\frac{1}{5}$S_矩形OABC，則$\frac{1}{2}$•5•（y+3）=$\frac{1}{5}$•5•3，然后分別解方程即可得到P點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）延長BC至點(diǎn)F，如圖2，由OA∥BC得∠CBM=∠AMB，∠AMC=∠MCF，利用∠CBM=∠CMB得到∠MCF=2∠CMB，過點(diǎn)M作ME∥CD交BC于點(diǎn)E，根據(jù)平行線得性質(zhì)得∠EMC=∠MCD，∠D=∠BME，加上∠NCM=2∠EMC，于是可得∠D=∠BME=∠CMB-∠EMC，∠CNM=∠NCF=∠MCF-∠NCM=2∠BMC-2∠DCM，所以∠CNM=2∠D，即有$\frac{∠D}{∠CNM}$=$\frac{1}{2}$．

解答 解：（1）∵OA=5，OC=3，AB∥OC，AO∥BC，
∴B（-5，-3）；
（2）當(dāng)點(diǎn)P在OA上時，設(shè)P（x，0）（x＜0），
∵S_△ABP：S_{四邊形BCOP}=1：4，
∴S_△ABP=$\frac{1}{5}$S_矩形OABC，
即$\frac{1}{2}$•3•（x+5）=$\frac{1}{5}$•5•3，解得x=-3，
∴P（-3，0）；
當(dāng)點(diǎn)P在OC上時，設(shè)P（0，y）（y＜0），
∵S_△CBP：S_{四邊形BPOA}=1：4，
∴S_△CBP=$\frac{1}{5}$S_矩形OABC，
即$\frac{1}{2}$•5•（y+3）=$\frac{1}{5}$•5•3，解得y=-$\frac{9}{5}$，
∴P（0，-$\frac{9}{5}$），
綜上所述，P點(diǎn)坐標(biāo)為（-3，0）或（0，-$\frac{9}{5}$）；
（3）$\frac{∠D}{∠CNM}$的值不會變化，理由如下：
延長BC至點(diǎn)F，如圖2，
∵四邊形OABC為長方形，
∴OA∥BC．
∴∠CBM=∠AMB，∠AMC=∠MCF，
∵∠CBM=∠CMB，
∴∠MCF=2∠CMB，
過點(diǎn)M作ME∥CD交BC于點(diǎn)E，
∴∠EMC=∠MCD，∠D=∠BME，
又∵CD平分∠MCN，
∴∠NCM=2∠EMC，
∴∠D=∠BME=∠CMB-∠EMC，
∠CNM=∠NCF=∠MCF-∠NCM=2∠BMC-2∠DCM=2∠D，
∴$\frac{∠D}{∠CNM}$=$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了坐標(biāo)與圖形性質(zhì)：利用點(diǎn)的坐標(biāo)計算相應(yīng)線段的長和判斷線段與坐標(biāo)軸的位置關(guān)系．也考查了平行線的性質(zhì)和三角形面積公式．