Question

18．如圖，正方形ABCD中，點E、F分別為邊CD、AD上的點，CE=DF，AE、BF交于點H
（1）求證：AE=BF；
（2）若AB=4，CE=1，求AH的長．

Answer 1

分析 （1）由正方形的性質得出AD=CD=BC，∠BAF=∠D=90°，由SAS證明△ADE≌△BAF，得出對應邊相等即可；
（2）由勾股定理求出BF，再由△ABF的面積的計算方法，即可得出AH的長．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD=CD=BC，∠BAF=∠D=90°，
∵CE=DF，
∴DE=AF，
在△ADE和△BAF中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=BA}&{\;}\\{∠D=∠∠BAF}&{\;}\\{DE=AF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△BAF（SAS），
∴AE=BF；
（2）解：∵AD=AB=4，DF=CE=1，
∴AF=4-1=3，
∴BF=$\sqrt{A{B}^{2}+A{F}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}$=5，
∵△ABF的面積=$\frac{1}{2}$BF•AH=$\frac{1}{2}$AB•AF，
∴AH=$\frac{AB•AF}{BF}$=$\frac{4×3}{5}$=$\frac{12}{5}$．

點評 本題考查了正方形的性質、全等三角形的判定與性質、勾股定理、三角形面積的計算；熟練掌握正方形的性質，并能進行推理論證與計算是解決問題的關鍵．