Question

7．已知凸四邊形ABCD中，∠A=∠C=90°．
（1）如圖1，若DE平分∠ADC，BF平分∠ABC的鄰補角，判斷DE與BF位置關系并證明；
（2）如圖2，若BF、DE分別平分∠ABC、∠ADC的鄰補角，判斷DE與BF位置關系并證明．

Answer 1

分析 （1）DE⊥BF，延長DE交BF于G．易證∠ADC=∠CBM．可得∠CDE=∠EBF．即可得∠EGB=∠C=90゜，則可證得DE⊥BF；
（2）DE∥BF，連接BD，易證∠NDC+∠MBC=180゜，則可得∠EDC+∠CBF=90゜，繼而可證得∠EDC+∠CDB+∠CBD+∠FBC=180゜，則可得DE∥BF．

解答 解：（1）DE⊥BF，
延長DE交BF于點G
∵∠A+∠ABC+∠C+∠ADC=360°
又∵∠A=∠C=90°，
∴∠ABC+∠ADC=180°
∵∠ABC+∠MBC=180°
∴∠ADC=∠MBC，
∵DE、BF分別平分∠ADC、∠MBC
∴∠EDC=$\frac{1}{2}$∠ADC，∠EBG=$\frac{1}{2}$∠MBC，
∴∠EDC=∠EBG，
∵∠EDC+∠DEC+∠C=180°
∠EBG+∠BEG+∠EGB=180°
又∵∠DEC=∠BEG∴∠EGB=∠C=90
∴DE⊥BF；
（2）DE∥BF，
連接BD，
∵DE、BF分別平分∠NDC、∠MBC
∴∠EDC=$\frac{1}{2}$∠NDC，∠FBC=$\frac{1}{2}$∠MBC，
∵∠ADC+∠NDC=180°
又∵∠ADC=∠MBC
∴∠MBC+∠NDC=180°
∴∠EDC+∠FBC=90°，
∵∠C=90°∴∠CDB+∠CBD=90°
∴∠EDC+∠CDB+∠FBC+∠CBD=180°
即∠EDB+∠FBD=180°，
∴DE∥BF．

點評 此題考查了三角形內角和定理，平行線的性質以及三角形外角的性質．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數形結合思想的應用．