Question

19．如圖，四邊形ABHG是正方形，D，C在射線GH上，四邊形ABCD是平行四邊形，CF⊥BG于F，BG，AD交于點(diǎn)E，連HF．
（1）求證：DG=HC；
（2）求證：AD=$\sqrt{2}$HF；
（3）若EG=2，BF=3，直接寫(xiě)出EF的值．

Answer 1

分析 （1）只要證明GH=CD，即可推出GD=HC；
（2）只要證明△FGH∽△CGB，即可推出$\frac{FH}{BC}$=$\frac{GH}{BG}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}$，由此即可解決問(wèn)題；
（3）如圖3中，連接DF，將△AGE繞點(diǎn)A逆時(shí)針性質(zhì)90°得到△ABM．首先證明△ADF是等腰直角三角形，再證明△AFM≌△AFE，推出EF=FM，由∠MBF=90°，可得EF=FM=$\sqrt{B{M}^{2}+B{F}^{2}}$，由此即可解決問(wèn)題；

解答 （1）證明：如圖1中，

∵四邊形ABHG是正方形，
∴AB=GH，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB=CD，
∴HG=CD，
∴GH-DH=CD-DH，
即DG=HC；

（2）證明：如圖2中，

∵∠FGC=∠BGH，∠CFG=∠BHG=90°，
∴△CFG∽△BHG，
∴$\frac{FG}{GH}$=$\frac{GC}{BG}$，
∴$\frac{FG}{GC}$=$\frac{GH}{BG}$，∵∠FGH=∠CGB，
∴△FGH∽△CGB，
∴$\frac{FH}{BC}$=$\frac{GH}{BG}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}$，
∴BC=$\sqrt{2}$FH，
∵AD=CB，
∴AD=$\sqrt{2}$FH．

（3）解：如圖3中，連接DF，將△AGE繞點(diǎn)A逆時(shí)針性質(zhì)90°得到△ABM．

∵CF⊥BG，∠FGC=45°，
∴FG=FC，∠FGD=∠FCH=45°，∵GD=HC，
∴△FGD≌△FCH，
∴FD=FH，
易證△FGA≌△GFH，
∴AF=FH=FD，
∵AD=$\sqrt{2}$FH，
∴AD=$\sqrt{2}$AF=$\sqrt{2}$DF，
∴△DAF是等腰直角三角形，
∴∠FAE=45°，
∴∠MAF=∠MAB+∠BAF=∠GAE+∠BAF=45°=∠FAE，
∵AF=AF，AM=AE，
∴△AFM≌△AFE，
∴EF=FM，
∵∠ABM=∠AGE=45°，
∴∠MBF=90°，
∴EF=FM=$\sqrt{B{M}^{2}+B{F}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{13}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找相似三角形解決問(wèn)題、學(xué)會(huì)添加常用輔助線構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．