Question

6．如圖，點(diǎn)E是△ABC的內(nèi)心，AE的延長線和△ABC的外接圓⊙O相交于點(diǎn)D，BC是⊙O的直徑，⊙O的切線FD與AB的延長線交于點(diǎn)F．
（1）求證：DF∥BC；
（2）若AC=6，DE=5$\sqrt{2}$，求BF的長．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)OD，如圖1，根據(jù)切線性質(zhì)得OD⊥FD，再根據(jù)圓周角定理由BC是⊙O的直徑得∠BAC=90°，由三角形內(nèi)心性質(zhì)得AD平分∠BAC，則∠BAD=45°，接著再根據(jù)圓周角定理得到∠BOD=2∠BAC=90°，即OD⊥BO，于是利用平行線的判定即可得到DF∥BC；
（2）連結(jié)CD，OD，CE，作BH⊥DF于H，如圖2，由（1）得∠1=∠5=45°，根據(jù)三角形內(nèi)心性質(zhì)得∠2=∠3，再由三角形外角性質(zhì)得∠4=∠3+∠5=∠3+45°，所以∠4=∠DCE，則DC=DE=5$\sqrt{2}$，接著證明△BDC為等腰直角三角形得到BC=$\sqrt{2}$CD=10，然后證明△BFH∽△CBA，利用相似比即可計(jì)算出BF的長．

解答 （1）證明：連結(jié)OD，如圖1，
∵FD為⊙O的切線，
∴OD⊥FD，
∵BC是⊙O的直徑，
∴∠BAC=90°，
∵點(diǎn)E是△ABC的內(nèi)心，
∴AD平分∠BAC，
∴∠BAD=45°，
∴∠BOD=2∠BAC=90°，
∴OD⊥BO，
而OD⊥DF，
∴DF∥BC；
（2）解：連結(jié)CD，OD，CE，作BH⊥DF于H，如圖2，
由（1）得∠1=∠5=45°，
∵點(diǎn)E是△ABC的內(nèi)心，
∴∠2=∠3，
而∠4=∠3+∠5=∠3+45°，
∴∠4=∠2+∠1，即∠4=∠DCE，
∴DC=DE=5$\sqrt{2}$，
∵∠DBC=∠1=∠5=45°，
∴△BDC為等腰直角三角形，
∴BC=$\sqrt{2}$CD=$\sqrt{2}$×5$\sqrt{2}$=10，
易得四邊形BODH為矩形，則BH=OD=5，
∵DF∥BC，
∴∠F=∠ABC，
∴△BFH∽△CBA，
∴$\frac{BF}{BC}$=$\frac{BH}{AC}$，即$\frac{BF}{10}$=$\frac{5}{6}$，
∴BF=$\frac{25}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑．運(yùn)用切線的性質(zhì)來進(jìn)行計(jì)算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點(diǎn)，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問題．也考查了圓周角定理、三角形內(nèi)心的性質(zhì)和三角形相似的判定與性質(zhì)．