Question

7．如圖，直線y=x+1和y=-x+3相交于點A，且分別與x軸交于B，C兩點，過點A的雙曲線y=$\frac{k}{x}$（x＞0）與直線y=-x+3的另一交點為點D．
（1）求雙曲線的解析式；
（2）求△BCD的面積．

Answer 1

分析 （1）先通過解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=x+1}\\{y=-x+3}\end{array}\right.$得A（1，2），然后把A（1，2）代入y=$\frac{k}{x}$中求出k的值即可得到反比例函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，通過解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{2}{x}}\\{y=-x+3}\end{array}\right.$得D（2，1），再利用x軸上點的坐標特征確定B點和C點坐標，然后根據(jù)三角形面積公式求解即可．

解答 解：（1）解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=x+1}\\{y=-x+3}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=2}\end{array}\right.$，
則A（1，2），
把A（1，2）代入y=$\frac{k}{x}$得k=1×2=2，
所以反比例函數(shù)解析式為y=$\frac{2}{x}$；
（2）解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{2}{x}}\\{y=-x+3}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=1}\end{array}\right.$，
則D（2，1），
當y=0時，x+1=0，解得x=-1，則B（-1，0）；
當y=0時，-x+3=0，解得x=3，則C（3，0），
所以△BCD的面積=$\frac{1}{2}$×（3+1）×1=2．

點評 本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題：求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點坐標，把兩個函數(shù)關(guān)系式聯(lián)立成方程組求解，若方程組有解則兩者有交點，方程組無解，則兩者無交點．