Question

17．如圖，在菱形ABCD中，E、F分別為邊BC、CD上一點且BE=DF．
（1）求證：△ABE≌△ADF；
（2）連接EF，求證：AC垂直平分EF．

Answer 1

分析 （1）由四邊形ABCD是菱形，可得AB=AD，∠B=∠D，又由BE=DF，根據(jù)SAS，即可證得△ABE≌△ADF；
（2）由全等三角形的性質(zhì)得出AE=AF，∠BAE=∠DAF．根據(jù)菱形的性質(zhì)得出∠BAC=∠DAC，那么∠EAC=∠FAC，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)即可證明出AC垂直平分EF．

解答 證明：（1）∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=AD，∠B=∠D．
在△ABE和△ADF中
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠B=∠D}\\{BE=DF}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ADF（SAS）；

（2）∵△ABE≌△ADF，
∴AE=AF，∠BAE=∠DAF．
∵四邊形ABCD是菱形，
∴∠BAC=∠DAC，
∴∠BAC-∠BAE=∠DAC-∠DAF，
即∠EAC=∠FAC，
∴AC垂直平分EF．

點評 此題考查了菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握菱形的性質(zhì)，注意菱形的四條邊都相等，對角相等，菱形的每一條對角線平分一組對角．