Question

4．已知，如圖1，點(diǎn)D、E分別在AB，AC上，且$\frac{AD}{AB}$=$\frac{AE}{AC}$．
（1）求證：DE∥BC．
（2）已知，如圖2，在△ABC中，點(diǎn)D為邊AC上任意一點(diǎn)，連結(jié)BD，取BD中點(diǎn)E，連結(jié)CE并延長(zhǎng)CE交邊AB于點(diǎn)F，求證：$\frac{BF}{AF}$=$\frac{CD}{AC}$．
（3）在（2）的條件下，若AB=AC，AF=CD，求$\frac{BF}{AF}$的值．

Answer 1

分析 （1）證明△ADE∽△ABC，從而可知∠ADE=∠B，所以DE∥BC．
（2）過(guò)點(diǎn)D作DG∥AB交CF于點(diǎn)G，所以△CDG∽△CAF，所以$\frac{DG}{AF}=\frac{CD}{CA}$，又易證△DEG≌△BEF（AAS），DG=BF，從而可證$\frac{BF}{AF}$=$\frac{CD}{AC}$．
（3）由（2）可得：$\frac{BF}{AF}=\frac{CD}{AC}$，由于AB=AC，AF=CD，所以$\frac{BF}{AF}$=$\frac{AF}{AF+BF}$，從而可得（$\frac{BF}{AF}$）²+$\frac{BF}{AF}$-1=0，解出$\frac{BF}{AF}$即可求出答案．

解答 解：（1）∵∠A=∠A，
$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$，
∴△ADE∽△ABC
∴∠ADE=∠B，
∴DE∥BC
（2）過(guò)點(diǎn)D作DG∥AB交CF于點(diǎn)G，
∴△CDG∽△CAF
∴$\frac{DG}{AF}=\frac{CD}{CA}$，
∵E是BD的中點(diǎn)，
∴BE=ED，
∵DG∥AB，
∴∠FBE=∠EDG
在△DEG與△CAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FBE=∠EDG}\\{∠FEB=∠DEG}\\{BE=ED}\end{array}\right.$
∴△DEG≌△BEF（AAS）
∴DG=BF，
∴$\frac{BF}{AF}$=$\frac{CD}{AC}$
（3）由（2）可得：$\frac{BF}{AF}=\frac{CD}{AC}$
∵AB=AC，AF=CD，
∴$\frac{BF}{AF}$=$\frac{AF}{AF+BF}$
∴BF²+BF•AF-AF²=0，
∴（$\frac{BF}{AF}$）²+$\frac{BF}{AF}$-1=0，
∴解得：$\frac{BF}{AF}$=$\frac{-1±\sqrt{5}}{2}$，
∴$\frac{BF}{AF}$=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查相似三角形的綜合問(wèn)題，涉及全等三角形的性質(zhì)與判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，解方程等知識(shí)，綜合程度較高，屬于中等題型．