Question

2．如圖，已知PA與圓O相切于點A，直徑BC⊥OP，線段OP與圓O交于點E，連接AB交PO于點D．
（1）求證：∠PAD=∠ACB；
（2）求證：AC•AP=AD•OC．

Answer 1

分析 （1）連接OA，由PA與圓O相切于點A，得到OA⊥AP于是得到∠OAD+∠DAP=90°，由BC是⊙O的直徑，得到∠OAD+∠OAC=90°，即可得到結(jié)論；
（2）由（1）知∠PAD=∠ACB，由OP⊥BC，得到∠COA+∠AOP=90°，由于∠AOP+∠P=90°，得到∠COA=∠P，推出△ADP∽△COA，得到比例式$\frac{AC}{AD}=\frac{OC}{AP}$，結(jié)論可得．

解答 （1）證明：連接OA，∵PA與圓O相切于點A，
∴OA⊥AP，
∴∠OAD+∠DAP=90°，
∵BC是⊙O的直徑，
∴∠OAD+∠OAC=90°，
∵OC=OA，
∴∠ACB=∠OAC，
∴∠ACB=∠PAD；

（2）解：由（1）知∠PAD=∠ACB，∵OP⊥BC，
∴∠COA+∠AOP=90°，
∵∠AOP+∠P=90°，
∴∠COA=∠P，
∴△ADP∽△COA，
∴$\frac{AC}{AD}=\frac{OC}{AP}$，
∴AC•AP=AD•OC．

點評 本題考查了切線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．